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Calcul de surface à partir du déterminant [Demonstration]

Posté par
infophile 27-09-06 à 11:11

Bonjour

Mon prof de maths nous a donné une formule qu'il n'a pas démontré, quelqu'un pourrait-il le faire ?

5$ \blue \fbox{S=|Det(\vec{u},\vec{v})|=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times |sin(\vec{u},\vec{v})|}

Avec 4$ \blue S la surface du parallélogramme, et 4$ \blue Det le déterminant.

Calcul de surface à partir du déterminant [Demonstration]

Merci

Posté par
raymond CorrecteurCalcul de surface à partir du déterminant [Demonstration] 27-09-06 à 11:29

Bonjour.
On pose dans un repère orthonormal : 2$\textrm \vec{u} = (a,b) et \vec{v} = (a',b')
On part du produit scalaire :
2$\textrm \vec{u}.\vec{v} = aa' + bb' = ||\vec{u}||.||\vec{v}||.cos(\theta).
On élève au carré et on remplace cos² par 1 - sin².
On extrait sin² et j'obtiens :
2$\textrm sin^{2}(\theta) = \frac{(ab' - a'b)^2}{(a^2 + b^2)(a'^2 + b'^2)}.
Cela donne le déterminant en fonction des normes et du sinus.
Pour l'aire, un simple calcul de la hauteur du parallélogramme donne le résultat.
Cordialement RR.

Posté par
infophilere : Calcul de surface à partir du déterminant [Demonstration] 27-09-06 à 11:38

Merci de ta réponse raymond

J'ai du mal à aboutir à ton résultat :

5$ \fbox{(aa'+bb')^2=(||\vec{u}||.||\vec{v}||.cos(\theta))^2\\cos^2(\theta)=\frac{(aa'+bb')^2}{(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)}\\sin^2(\theta)=1-\frac{(ab'-a'b)^2}{(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)}}

Quelle est l'étape suivante ?

Posté par
infophilere : Calcul de surface à partir du déterminant [Demonstration] 27-09-06 à 11:40

J'ai commis une erreur de frappe :

5$%20\fbox{(aa'+bb')^2=(||\vec{u}||.||\vec{v}||.cos(\theta))^2\\cos^2(\theta)=\frac{(aa'+bb')^2}{(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)}\\sin^2(\theta)=1-\frac{(aa'+b'b)^2}{(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)}}

Posté par
infophilere : Calcul de surface à partir du déterminant [Demonstration] 27-09-06 à 11:43

C'est bon j'ai compris

Merci beaucoup raymond !


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