bonjour

c'est la différence entre le volume de la demi-boule et celui de la calotte sphérique de hauteur 1/2

Une méthode est de passer par le théorème de Guldin (pour simplifier un peu). Tu calcules l'aire d'une section par un découpage via un triangle. L'aire d'une section est (c'est ce que me donnerait me donner l'intégrale double de la surface de cette section).

Tu multiplies le tout par et tu trouves normalement .

Bon, en espérant avoir pas dit trop de conneries.

je n'ai pas vu le theorème de Guldin aussi ! Il faut que je face simple, je sais pas trop comment calculer le volume de la calotte sphérique de hauteur 1/2

Personnellement, je ne connais pas du tout les formules de volume de calotte.

As-tu vu les intégrales triples ? Le théorème de Guldin est un cas très particulier qui s'applique aux sections de révolution par exemple, en gros permet de se ramener à une intégrale double...

bonjour soucou

pour ma part, le volume de la demi-boule valant 2pir^3/3

et celui de la calotte de hauteur h valant pih²(r-h/3) ( intégration de (r²-x²) entre 0 et (r-h) )

2pir^3/3 - pi(r/2)²(r - r/6) = (pir^3/3)(2 - 5/8) = 11.pi.r^3/24

avec r=1, V = 11pi/24

Je n'en suis pas certain, cependant...

La formule de Leibniz permet de calculer le volume d'une courbe en révolution autour de l'axe des abscisses par V = pi.somme(y².dx) de xmin à xmax

ici y² = r²-x² et il faut intégrer entre r/2 et r pour avoir la calotte ou entre 0 et r/2 pour avoir ton aire cherchée

A vérifier

Voilà le découpage.



Dont les aires sont faciles à calculer.

Oups !

je l'ai mise en clair :

Oui, c'est sur j'ai déjà mieux connu que paint...

Bonjour,

Alors si je reprends mon explication

En traçant le cercle x²+y²=1

Tu fais décrire une rotation autour de l'axe Ox à ce cercle, tu engendres alors une boule

Maintenant si tu considères la variable x variant entre 0 et 1/2 et que tu fais tourner cette courbe autour d'Ox, tu vas engendrer le volume que tu cherches

Le volume est V = pi.Somme(y²dx) pour x variant entre 0 et 1/2

V = pi.Somme(1-x²).dx [0;1/2] = pi.[x-x^3/3][0;1/2] = pi(1/2 - 1/24)

V = 11pi/24

On retrouve ce que je te disais, avec des outils de Terminale

merci pour les infos

En fait, il suffit de bien comprendre pi.Somme(y²dx)

tu l'as vu en cours ?

Sinon, tu considères un "dx" qui a "y" comme hauteur identique à un rayon

le volume engendré par ce "dx" autour de l'axe Ox sera alors pi.rayon².dx = piy².dx

Il suffit alors de faire la somme de ces pi.y².dx pour x variant entre 0 et 1/2 , sommes au sens de Riemman

Ok ?

Une erreur dans ma formule au début, c'est (là ce n'est même pas une faute de frappe en plus... ) et donc .

Le problème mikayaou est que j'ai l'impression que tu calcul la surface (d'une moins de la partie sur la sphère) de la calotte.

Avec Chasles,

Oulà moi et les 2, c'est un triangle et non un rectangle !

non, non, soucou

c'est bien un volume que je calcule

comme je l'explique à 17:05

j'avais oublié de donner les indication du sujet :

découper en tranches parallèles à XoY et utiliser l'équation cartésienne de la sphère.

on est donc bien d'accord cisse_du_nord

je ne vois pas pourquoi on doit utiliser léquation d'une sphère !

javais encore une question mikayaou, comment tu sais qu'il faut  intégrer (r²-x²) , message de 15h43. merci davance

l'équation de la sphère est x²+y²+z²=1

ici, on travaille dans le plan zOy et on a le cercle z²+y²=1

tu remplaces x par z dans mes explications du dessus et tu as :

cisse

la réponse à ta question de 17:20 est donnée à 16:36

je comprend pas trop tant pis merci quand meme

que ne comprends-tu pas ?

Au passage, dans le théorème de Guldin j'ai omis de prendre en compte la distance de l'axe de révolution "au barycentre" de la section, d'où un calcul totalement erroné