C'est la fameuse formule de Leibniz. Elle est un peu complexe à saisir mais dans l'ensemble il n'y a rien de compliqué.
Tout d'abord il faut que tu prennes en compte la signature ε : égale à 1 si la permutation est paire et -1 si la permutation est impaire. Pour savoir le signe de tes permutations il faut que tu repères lignes et colonnes par les signes + et - de gauche a droite et de haut en bas en alternant ( Comme le calcul du déterminant pour une matrice 3*3). Ensuite le déterminant d'une matrice reste invariant par permutations de ses lignes et de ses colonnes.

Tu arranges donc ta matrice en faisant apparaitre un nombre suffisant de 0 par permutations. Dans ta somme tu auras donc autant de termes nulles. Tu trouveras trivialement  det(A) = - 9

s´il te plait peux tu detailler?comme ca je pourrai comprendre et  resoudre prochainement tout seule tout exercice de cette forme.je sais bien reperer ligne et colonne par + et - mais apres je ne sais plus comment continuer.

merci d´avance

cordialement

Bonjour à vous deux,

Il faut commencer par faire attention :
¤ ton énoncé suggère que A est à coefficient dans ce qui n'est pas le cas.
¤ n'est pas muni d'une structure naturel d'anneau, donc on ne sait pas comment faire la multiplication.
¤ Peut-être était-ce ?
Dans tous les cas, il faut une précision.

Ensuite, si tu veux appliquer ta formule, il suffit de comprendre ce qu'elle dit : on fait la somme sur les permutations d'un ensemble à 4 éléments en considérant à chaque fois sa signature.

Il serait bon de chercher les permutations en question, c'est à dire les éléments de ton . Ensuite il n'y a plus qu'à calculer.
Par exemple,
¤ pour , alors et tu vas avoir .
¤ pour , alors et tu vas avoir .
etc...
reste à sommer le tout.

c´est Z/5Z

merci c´est juste une erreur de frappe.

et comment calculer les permutations me parait encore compliqué.

quelqu´un peux t il  me detaillé cela pour que je puisse ne plus avoir de difficultés avec ce genre d´exercice?

merci pour toutes contributions a la resolution complete de cet exercice

cordialement

jodel

Quand même, trouves les permutations d'un ensemble à 4 éléments n'est pas trop compliqué.
Déjà, est ce que tu sais combien il y en a ?

il ya 24 permutations et comment tu les calcules je ne sais pas?les details pourraient m´aider?

Tu peux les chercher selon leurs ordres.
Ordre 1 : id
Ordre 2 : (12),(13),(14),(23),(24),(34)
Ordre 3 : ...
Ordre 4 : ...

les chercher est bien facile mais les calculer reste ma difficulté jusqu´ici.

merci pour toutes contributions a la resolution de cet exercice

cordialement

jodel

C'est quoi que tu appelles "les calculer" ?
Parce qu'ici, je ne vois pas d'autres difficultés que de trouver les permutations en question.
Si et tu sais comment avoir ?

c´est ca ma difficulté.
bien vu
trouver les permutations .je ne sais pas comment ont les trouves.?

Ok.

Je viens de voir que j'ai oublié de mettre "..." à la fin des éléments d'ordre 2 dans mon message précédant. La liste n'était pas complète.

Une permutation d'ordre 2 sera soit une transposition soit un produit d'un nombre pair transposition de cycles disjoints, c'est à dire :
¤ (12),(13),(14),(23),(24),(34)
ou
¤ (12)(34), (13)(24), (23)(14)

Une permutation d'ordre 3 sera du type (ijk) mais quitte à faire, on peut imposer i=1 ou i=2. En effet, prendre trois nombres parmi {1,2,3,4} revient à choisir soit 1 soit 2.
Donc il faut lister les permutations du type (1jk) et (2jk).

Une permutation d'ordre 4 sera du type (ijkl), là encore, tu peux les écrire en commençant toujours par i=1.

Au total, vérifie que tu en as bien 24.