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calcul du rang

Posté par
Yosh2 29-04-21 à 19:53

bonjour
lorsqu'on calcul le rang d'une matrice ou d'une famille de vecteurs, on utilise les opérations élémentaires : échange , dilatation , transvection.
comment peut on justifier que ces opérations conservent le rang ?
merci

Posté par
Aalex00re : calcul du rang 29-04-21 à 20:02

Salut, c'est parce que ce sont des matrices inversibles.
Comme tu le dis les opérations élémentaires sur les lignes/colonnes de la matrice reviennent à multiplier par des transvections et dilatations à gauche/droite. Donc la matrice de départ et d'arrivée ont même rang.

Posté par
Yosh2re : calcul du rang 30-04-21 à 17:18

bonjour
mais dans ce cas , on doit avoir rg(AB) = rg(A) = rg(B), or je ne suis pas sur que ceci soit vrai
merci

Posté par
matheuxmatoure : calcul du rang 30-04-21 à 18:16

bonjour

Yosh2

Non car A n'est peut-être pas inversible elle !

si A et A' équivalentes, alors rg(A)=rg(A')

si B inversible, A et A'=AB sont équivalentes

donc rg(A) = rg(A')

mais B et AB ne sont pas forcément équivalentes (si A non inversible !)

Posté par
Yosh2re : calcul du rang 30-04-21 à 18:42

bonjour
oui tout a fait je n'avais pas remarque a première vue que dans la définition des matrices équivalentes , ( A et A' sont équivalentes <==> il existe U et V inversibles tq  A= UA'V) que U et V pouvait être l'identité .
merci a vous

Posté par
matheuxmatoure : calcul du rang 30-04-21 à 18:45

pas de quoi

Posté par
Aalex00re : calcul du rang 30-04-21 à 19:02

Salut,

Yosh2, tu parles de matrices équivalentes et je me demande si tu sais montrer que les deux définitions ci-dessous du rang sont équivalentes. C'est un bon exercice pour vérifier que tu as compris.

• Comme dimension de l'image :
Le rang de A est la dimension de l'espace engendré par les colonnes (vues comme vecteurs exprimés dans la base canonique).

• Comme matrice équivalente à une matrice de rang connu :
A\in M_{nm}(K) est de rang r s'il existe P\in GL_n(K) et Q\in GL_m(K)  tels que PAQ=I_{n,m,r} où
I_{n,m,r} = \begin{pmatrix}I_r & 0_{n-r} \\ 0_{m-r} & 0_{m-r,n-r}\end{pmatrix}

Essais de voir ce qui ce passe en multipliant par une matrice inversible lorsqu'on prend la première définition.

Posté par
Yosh2re : calcul du rang 30-04-21 à 23:47

bonjour
pour montrer l'équivalence entre ces deux définitions dans mon cours , on la fait sous forme d'exo ou on a introduit l'appl canoniquement associes a la matrice , on a considéré un supplémentaire H de ker f , puis on a déterminer la matrice de f de la base de H dans une base de im f .... j'avoue avoir réussi l'exo en répondant aux questions successives, mais pour refaire la démonstration moi meme, je ne pense pas être capable de la faire a moins d'apprendre par coeur celle ci .

Citation :
Essais de voir ce qui ce passe en multipliant par une matrice inversible lorsqu'on prend la première définition.
je n'ai pas tout a fait compris comment exploiter votre suggestion, en utilisant la définition formelle du produit de matrice, ainsi qu'une tentative de multiplication en utilisant la forme éclaté des matrices , j'ai du mal a passer de la première définition a la seconde.

Posté par
Aalex00re : calcul du rang 01-05-21 à 09:45

Salut Yosh2,

Yosh2

j'ai du mal a passer de la première définition a la seconde

C'est justement ce que tu as écris. Tu te donnes f:R^m\rightarrow R^n morphisme. Puis :
• tu notes b_2 base de Ker(f) et b_1 base d'un supplémentaires. En particulier, b_1\cup b_2 base de R^m.
• tu verifie que f(b_1) est libre dans R^n donc tu peux compléter cette famille libre en une base b_3:=f(b_1)\cup \{u_1,...,u_p\} de R^n.
• la matrice de f dans les bases b_1\cup b_2 et b_3 est I_{m,n,r}.

Et cela implique la définition 2 car on vient de faire un changement de base. Deux matrices (de même taille) sont équivalentes si et seulement si elles représentent un même morphisme dans des bases différentes.

Et c'est ce que je voulais te faire remarquer avec ma dernière remarque. En terme de morphisme, la multiplication par une matrice inversible agit comme suit :
• multiplier à droite la matrice d'une application linéaire par une matrice inversible revient à changer de base sur l'espace de départ.
• multiplier à gauche la matrice d'une application linéaire par une matrice inversible revient à changer de base sur l'espace d'arrivée.

Alors qu'en terme de matrice, la multiplication par une matrice inversible revient à faire des opérations élémentaires (en ligne ou colonne par multiplication à gauche ou à droite respectivement). Pourquoi, parce que les matrices inversibles s'écrivent comme produits de transvections et d'une dilatation...

Posté par
Yosh2re : calcul du rang 01-05-21 à 10:59

bonjour
vous me proposez la même démonstration que celle de mon cours , j'imagine que c'est peut être la seule démonstration faisant intervenir des notions que je connais , n'empêche que ses nombreuses considérations me semble un peu parachutées, je ne les saisi que partiellement , et de la a les faire de ma propre initiative c'est peut être impossible.
1-l'idee de faire appel a la appl line associe n'est peut etre pas intuitive mais reste pertinente au vu de leur relation avec les matrices
2-je ne vois pas comment avoir l'idée de considérer le ker et un supplémentaire ainsi que leur base
3-la encore utiliser les f(ui) puis les compléter en une base m'échappe complétement (j'arrive a voir que les vecteurs du ker s'annulent donnant les 0)
pourriez vous m'expliquer comment on peut être amener a prendre de telle considération soi même ?
merci a vous

Posté par
Aalex00re : calcul du rang 01-05-21 à 14:09

Yosh2

j'imagine que c'est peut être la seule démonstration faisant intervenir des notions que je connais
Il y probablement d'autres preuves (plus ou moins équivalentes), mais pour être honnête je ne les ai pas en tête. Je n'ai pas le recul d'un enseignant, je suis seulement étudiant. J'espère que ce que j'ai raconté ne t'as pas embrouillé.

Yosh2

1-l'idee de faire appel a la appl line associe n'est peut etre pas intuitive mais reste pertinente au vu de leur relation avec les matrices
N'oublions pas ce qu'on veut montrer et qu'elles sont nos hypothèses. La définition 1 définit le rang comme la dimension de l'espace engendré par les colonnes. En fait, cette définition est naturelle lorsqu'on vient de définir le rang d'un morphisme f (donné par dim(Im(f))). Il est donc "naturel" de revenir vers ce morphisme.

Yosh2

2-je ne vois pas comment avoir l'idée de considérer le ker et un supplémentaire ainsi que leur base
Observons ce qu'on veut. Déjà il faut être bien à l'aise sur les changements de bases et comprendre que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent un même morphisme dans des bases différentes (ce qui suggére là encore de se ramener à des morphismes). On souhaite que dans certaines bases, la matrice de f soit
I_{m,n,r} = \begin{pmatrix}I_r & 0_{r,n-r} \\ 0_{m-r,r} & 0_{m-r,n-r}\end{pmatrix}
Autrement dit on cherche une base B_d=(a_1, ...,a_r,b_1,...,b_{m-r}) de l'espace de départ et B_a=(c_1, ...,c_r,d_1,...,d_{n-r}) de l'espace d'arrivé telles que :
f(a_1) = c_1
...
f(a_r) = c_r
f(b_1) = 0
...
f(b_{m-r}) = 0
Donc pour les b_i, il est naturel de prendre une base du noyau de f. Et pour les a_i, il faut les choisir de sorte à avoir B_d qui soit une base. On considère alors un supplémentaire du noyau et on en prendre les a_i comme base. Le fait de choisir un supplémentaire du noyau nous assure également que (f(a_1),...,f(a_r)) soit libre..
Reste maintenant à choisir les c_i et d_i. Pour les c_i on a pas le choix, d'après la forme désirée on a c_i=f(a_i). Et ce choix ne pose pas de problème car la famille (f(a_1),...,f(a_r))=(c_1,...,c_r) est libre : sinon aucune chance que B_a soit une base. Enfin il reste à choisir les d_i, de sorte que B_a soit une base et sans plus de conditions (les d_i n'interviennent pas dans les relations écrites). On complète alors (f(a_1),...,f(a_r)) (de manière arbitraire) en une base B_a.

Posté par
Aalex00re : calcul du rang 01-05-21 à 14:11

NB : Lorsque je parle d'espace de départ je parle de R^m, et pour l'espace d'arrivé R^n.

Posté par
Yosh2re : calcul du rang 01-05-21 à 17:31

bonjour
je n'est surement toujours pas saisi toutes les subtilités de la preuve, mais vos explications m'ont beaucoup aider a  voir plus clair. j'essayerais d'y revenir régulièrement au fur a mesure de l'avancement du cours, ça me donnera certainement plus de recul .
merci a vous


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