Bonsoir,

J'ai deux matrices J et K dont l'une des caractéristiques est que le produit JK = KJ = 0 (donc K et J sont deux matrices commutatives).
De plus d'après les questions précédentes, on sait que J est diagonalisable et admet comme valeurs propres 0 et 4, de même K est diagonalisable et admet comme valeurs propres 0 et 2.
Soit M une matrice défini comme aJ + bK (a, b étant deux réels); on demande les valeurs propres de cette matrice on trouve 2b, et 4a. Ensuite on demande de calculer cette matrice à la puissance n.
Là il y a deux méthodes de faire, une que je comprends ( on exprime M en fonction de P et P^-1 matrice de passage) et l'autre que je ne comprends pas. c'est avec la formule du binome de Newton : Voilà ce qui est écrit dans la correction :
comme J et K commutent, et JK=0, on peut utiliser le binome de Newton pour montrer que :
Mⁿ=4^n-1aⁿJ + 2^n-1bⁿK.

Je comprends qu'il part du fait que Mⁿ=(aJ + bK)ⁿ et ensuite il doivent développer grâce à la formule de Newton, avec la somme de k=1 à n de  k parmi n (aJ)ⁿ (bK)^n-k mais après je ne vois pas comment ils font apparaitre un 2 et un 4 donc si qqn pouvait m'éclaircir sur le développement de Newton, je vous en serais reconnaissant.

Aussi je ne comprends pourquoi on ne peut pas utiliser le binome de Newton si J et K ne commutent pas.

Enfin à quoi cela nous sert de savoir que JK=0?

merci

Cordialement