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Calcul matriciel

Posté par
elhor_abdelali Correcteur 03-10-07 à 23:47

Bonjour ;

Pour \fbox{A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{K})} on considère la matrice \fbox{M\in M_{n^2}(\mathbb{K})} telle que ,

5$\fbox{M=\(\begin{tabular}{ccccc}&a_{11}I_n&a_{12}I_n&.&.&a_{1n}I_n\\&a_{21}I_n&a_{22}I_n&.&.&a_{2n}I_n\\&.&.&.&.&.\\&.&.&.&.&.\\&a_{n1}I_n&a_{n2}I_n&.&.&a_{nn}I_n\\\end{tabular}\)} où I_n désigne la matrice unité de M_n(\mathbb{K}) .

Montrer que 3$\blue\fbox{Det(M)=(Det(A))^n} (sauf erreur)

Posté par
donaldosre : Calcul matriciel 04-10-07 à 12:03

En utilisant le produit de Kronecker \otimes:

M=A\otimes I_n

M est inversible ssi A est inversible, \det(A)=0 \Leftrightarrow \det(M)=0

Par ailleurs, si \det(A)\neq 0 , notons \lambda_i les valeurs propres de A et \beta_j celles de I_n. Par propriété du produit de Kronecker, M possède alors n^2 valeurs propres : {\lambda_i\beta_j}, avec 1\leq i \leq n et 1\leq j \leq n .

Il vient :

\det(M)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{n}{\lambda_i\beta_j}

Comme il est clair que \beta_j=1\,, \forall j,

\begin{array}{rcl} \\ \det(M)&=&\left(\prod\limits_{i=1}^{n}{\lambda_i}\right)^n\\ \\ &=&\det(A)^n \\ \end{array}

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul matriciel 04-10-07 à 12:57

Bonjour.

Ce qui gène dans M, c'est la dispersion des coefficients de A. Mon idée est de les rassembler autour de la diagonale.
Voici ce que je propose.

Appelons uA l'endomorphisme de Mn(K) défini par uA(X) = AX.

Désignons par (B) = (Eij) la base canonique de Mn(K) rangée dans l'ordre lexicographique.

Alors :

2$\textrm u_A(E_{kl}) = \Bigsum_i\Bigsum_j a_{ij}E_{ij}.E_{kl} = \Bigsum_i a_{ik}E_{il}

Ce dernier résultat montre que la matrice M de l'énoncé est la matrice de uA sur (B).

Prenons maintenant l'automorphisme involutif de transposition dans Mn(K). Nommons le t.

Posons vA = t-1 o uA o t = t o uA o t

Alors, un calcul élémentaire donne : vA(X) = X.t(A)

Cherchons la matrice de vA dans (B)

2$\textrm v_A(E_{kl}) = E_{kl}.\Bigsum_i\Bigsum_j a_{ji}E_{ij} = \Bigsum_j a_{jl}E_{kj}

Ce qui est intéressant dans ce dernier résultat, c'est la stabilité des rangs Ek1...Ekn

En regardant de plus près, la matrice de vA possède une forme très intéressante :

2$\textrm Mat(A,(B)) = \begin{pmatrix}A&O&O&...&O\\O&A&O&...&O\\.&.&.&...&.\\.&.&.&...&.\\.&.&.&...&.\\O&O&O&...&A\end{pmatrix}

On en déduit :

det(vA) = det(uA) = det(M) = (det(A))n

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul matriciel 04-10-07 à 13:00

Désolé, faute de frappe. Lire :

2$\textrm Mat(v_A,(B)) = ...

A plus RR.

Posté par
raymond CorrecteurCalcul matriciel 07-10-07 à 12:21

Bonjour.

Personne pour confirmer ou critiquer ?

A plus RR.

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul matriciel 07-10-07 à 14:46

Bonjour

Je reviens sur le sujet, d'abord parce qu'on peut généraliser un peu, et parceque je pense avoir une démonstration un peu plus élémentaire. (Les aspects produit
tensoriel y sont peut-être un peu mieux cachés)

Soient n et k des entiers. Pour toute matrice A=(ai,j) carrée nn on pose

\Large \hat A=\(\begin{array}{ccc}a_{1,1}I_k & ... & a_{1,n}I_k\\ \vdots &\ &\vdots \\ a_{n,1}I_k & ... & a_{n,n}I_k\end{array}\)

où Ik estr la matrice unité kk.

On vérifie facilement que \widehat{AB}=\hat A\ \hat B et que \widehat{I_n}=I_{nk}.

Si T est triangulaire, on voit à la main que det(\hat T)=(det\ T)^k

Si A est triangulable et si A=P-1TP avec P inversible et T triangulaire, on a \hat A=\hat P^{-1}\hat T\ \hat P d'où
det\ \hat A=(det(A)^k

Pour le cas général, ça dépend du niveau. Où on se limite à C, où on sait que toute matrice est triangulable dans un sur-corps du corps où elle vit...


PS: Les solutions précédentes me paraissent correctes!

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul matriciel 07-10-07 à 15:18

Bonjour Camélia.

J'ai rencontré cette technique dans un sujet de concours il y a bien longtemps. Elle servait en particulier à construire des matrices de Hadamard, mais je ne savais pas qu'elle faisait partie de l'enseignement "classique ".

A plus RR.

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul matriciel 07-10-07 à 15:23

Salut Raymond

Tout l'exo n'est pas classique! mais là on est entre nous...

j'ai regardé cette histoire de Cauchy mais elle ne m'inspire pas du tout

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul matriciel 07-10-07 à 15:33

J'ai un petit espoir : il faut que je retrouve un passage de Rudin dans lequel il utilisait une méthode similaire :

preuve pour les entiers du type 2m, puis généralisation à tous les entiers. Je crois que c'était pour les

séries numériques. Je chercherai ...

A plus RR.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Calcul matriciel. 08-10-07 à 03:05

Bonsoir raymond et Camélia ;

En fait l'idée de cet exercice m'est venue d'un topic où on demandait de calculer le déterminant de l'endomorphisme ,
3$\fbox{f\hspace{5}{:}\hspace{5}M_n(\mathbb{K})\to M_n(\mathbb{K})\\\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}M\to AMB} (A , B\in M_n(\mathbb{K}))

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul matriciel 08-10-07 à 14:15

Rebonjour

J'avais bien repéré l'origine de l'histoire. De ce point de vue, la solution de Raymond est mieux adaptée, mais, comme souvent, je n'ai pas résisté à la tentation...


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