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calcul matriciel

Posté par
Minineutron 10-09-11 à 20:35

bonjour, j'ai une matrice A.
On me demande de calculer A² + 2A - 3I3, qui après calcul, est nul. Je dois ensuite trouver A^n et on me dit d'effectuer la division euclidienne de X^n par X^2 + 2X - 3.

J'ai trouvé que A^n = anA +bnI3.

Mais je ne comprends pas cette 'méthode', en quoi le fait que A² + 2A - 3I3 soit nul pour permet de l'utiliser pour effectuer la division euclidienne et trouver A^n?


merci

Posté par
gui_toure : calcul matriciel 10-09-11 à 20:48

Salut

Il existe un polynôme Q de degré strictement inférieur à 2 ( donc \displaystyle Q(X)=aX+b ) tel que :

\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ X^n = R(X)(X^2-2X-3)+aX+b

C'est en particulier vrai dans le monde des matrices : \displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ X^n = R(X)(X^2-2X-3I)+aX+bI pour X une matrice.

L'intérêt est de regarder pour A et -3A, où le terme \displaystyle R(X)(X^2-2X-3I) s'annule.


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