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Calcul Matriciel-Détermination d'une matrice à la puissance n
Bonjour,
Je voudrais vous demander de l'aide concernant une question que je ne réussis pas à faire.
Tout d'abord, j'ai déterminé:
A=
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 |
B=
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
J'ai également démontré que B²=3B et que A= 2B -I3
Voici la question à proprement parler:
Démontrer par récurrence:
An= (-1)nI3+ 1/3(5n-(-1)n)B
J'ai pensé à partir de An, puis multiplier par (2B-I3), toutefois, je n'arrive pas à aboutir au résultat demandé.
Merci de vos futures réponses,
Bonne journée.
Veuillez bien m'excuser pour les tableaux, mais je ne sais pas réaliser de matrices à proprement parler.
B 2 = 3 B et A = 2 B - I
Démontrer par récurrence:
Vérification : pour n = 1, (- 1) n I + 1/3 (5 n - (- 1) n) B devient - I + (1/3) (5 + 1) B donc 2 B - I soit A
Supposons que A n = (- 1) n I + 1/3 (5 n - (- 1) n) B
A n + 1 = A n A
= [(- 1) n I + 1/3 (5 n - (- 1) n) B] (2 B - I)
= (- 1) n 2 B + 1/3 (5 n - (- 1) n) 2 B 2 - (- 1) n I - 1/3 (5 n -(-1) n) B
= (- 1) n 2 B + 1/3 (5 n - (- 1) n) 2 * 3 B - (- 1) n I - 1/3 (5 n -(-1) n) B
en remplaçant B 2 par 2 B
ensuite il faut regrouper :
= - (- 1) n I + [ 2 (- 1) n + 1/3 (5 n - (- 1) n) 6- 1/3 (5 n - (- 1) n)] B
= (- 1) n + 1 I + [ [ 2 (- 1) n + 1/3 ( 6 * 5 n - 5 n) + (1/3)*6*(- 1) n) + (- 1) n)] B
en remarquant que 6 * 5 n - 5 n = 5*5 n = 5 n + 1
et que (- 1) n)= - (- 1) n + 1)
alors A n + 1 = (- 1) n + 1 I + (1/3) (5 n + 1 - (- 1) n + 1) B
d'où la récurrence
Désolé du double post, mais j'ai une dernière question sur la dernière étape de votre calcul:
(-1)n+1I+((2(-1)n+1/3(6*5n-5n)+1/3*6*(-1)n+(-1)n))B
Je trouve:
= (-1)n+1I+((1/3(6*5n-5n)+1/3(-1)n(2/3+1+1/3))B
=(-1)n+1I+((1/3(5n+1)+1/3(-1)n(2))B
=(-1)n+1I+((1/3((5n+1)-2(-1)n+1)B
Merci.
Désolé de la petite erreur de factorisation...
(-1)n+1I+((2(-1)n+1/3(6*5n-5n)+1/3*6*(-1)n+(-1)n))B
Je trouve:
= (-1)n+1I+((1/3(6*5n-5n)+1/3(-1)n(6+6+3))B
=(-1)n+1I+((1/3(5n+1)+1/3(-1)n(15))B
=(-1)n+1I+((1/3((5n+1)-15(-1)n+1)B
Merci.
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