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Posté par
fenamat84re : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 16:34

@mathafou: oui, je viens de remarquer l'associativité en effet (un peu tardivement...). Du coup ne pas tenir compte de ma remarque.
Dans ce cas, la démonstration d'EnjoyPhoenix est alors correcte et terminée.

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 18:29

Je me disais qu'il y avait cette méthode, l'associativité, mais je ne me rappelais plus comment il fallait faire, j'ai compris maintenant, merci beaucoup! il ne me reste plus qu'à conclure la démonstration.
Pour la suite de la question, "Écrire explicitement les coefficients de la matrice An", il n'y aurait pas une histoire de disjonction des cas? je ne vois pas d'autres méthodes...

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 18:48

de disjonction de quoi donc ??
tu sais calculer Dn directement et explicitement dans tous les cas sans rien "disjoindre"

et comme An = PDnP-1 ça te donne An

(c'est juste un peu pénible avec tous ces racine de 5, comme déja signalé, mais il "suffit" d'écrire tout soigneusement et "zen" pour s'en sortir)

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 19:37

ah, donc c'est "seulement" un calcul à effectuer... mais pour Dn du coup, ce sera quelle matrice? parce qu'on a D mais pas Dn

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 20:07

D étant une matrice diagonale, calculer Dn est "facile"

la matrice

(a 0)
(0 b)

au carré c'est :
(a² 0)
(0 b²)

et à la puissance n
(an 0)
(0 bn)

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 20:37

Oui je l'ai trouvé plus loin, on l'avait pas encore vu, merci!
Donc dans mon calcul, j'en suis à là : (c'est très long à réécrire et j'ai fais hyper attention, mais s'emmêle vite les pinceaux, donc je présente ça sous forme de A1 A2... ici)

A1 = 5/10 ( 3+((25)/2))n  -  5/10 (3-((25)/2))n

A2 : (3+((25)/2))n ((5-5)/20)  +  (3-((25)/2))n ((5+5)/20)

A3 : 5/10 (1+((25)/2)n  -  5/10 (1-((25)/2)n

A4 : (1+((25)/2))n ((5-5)/20)  +  (1-((25)/2))n ((5+5)/20)

Mais ensuite je ne sais pas comment procéder avec les exposants n, ça "perturbe" les développements... vous proposez quelle méthode? le calcul est-il juste jusqu'ici?

Posté par
fenamat84re : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 22:21

Il faut calculer A^n=PD^nP^{-1}. Un peu prise de tête oui...
On a : (en espérant qu'il n'y ait pas d'erreurs...)

A^n=\frac{\sqrt{5}}{20}\begin{pmatrix}1+\sqrt{5}&1-\sqrt{5}\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n&0\\0&(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&\sqrt{5}-1\\-2&1+\sqrt{5}\end{pmatrix}

=\frac{\sqrt{5}}{20}\begin{pmatrix}(1+\sqrt{5})(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n&(1-\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\\2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n&2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&\sqrt{5}-1\\-2&1+\sqrt{5}\end{pmatrix}

=\frac{\sqrt{5}}{20}\begin{pmatrix}A1&A2\\A3&A4\end{pmatrix}.

Avec :

A1=2[(1+\sqrt{5})(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(1-\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]
A2=4[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]
A3=4[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]
A4=2[(\sqrt{5}-1)(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(1+\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n].

Voilà, j'ai fait l'effort de te le faire, en espérant encore 1 fois de ne pas mettre trompé.

Posté par
fenamat84re : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 22:35

Oups, pour A1, c'est un signe "-" entre les crochets [... - ...] et non pas +. Petite erreur de signe.

Posté par
fenamat84re : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 22:39

Erreurs aussi sur A2 et A3 (décidément...)

Pour A2, c'est un signe "+" au lieu d'un -.
Pour A3, c'est un signe "-" au lieu d'un +.

Posté par
fenamat84re : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 22:43

Je réécris bien comme il faut le résultat :

A1=2[(1+\sqrt{5})(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(1-\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]
A2=4[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]
A3=4[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]
et A4=2[(\sqrt{5}-1)(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(1+\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n].

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 20-01-15 à 23:12

c'est vrai que c'est lourdingue et le risque d'erreur est très élevé.

heureusement qu'on connait le résultat attendu question 3a pour vérifier !

mon idée d'écrire tout ça en terme de nombre d'or n'est peut être pas à dédaigner après tout...

c'est juste plus facile d'écrire "" que \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} et "-1/" pour \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 21-01-15 à 17:06

comment dire... le résultat que j'ai trouvé est très très bizarre et loin de ce que vous avez trouvé...
J'ai ceci:

An = 1n           ((42-25)/20)n
       1n           ((7-25)/20)n

Je pense que je vais devoir m'y recoller

Je passe à la 3)a ; pour trouver le terme général de la suite Fn, on a Fn+2=Fn+1+Fn mais comment je dois faire pour continuer?

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 21-01-15 à 17:27

question 1a : définition de Un
question 1c : Un = An U0

et donc on a Fn en fonction de F1 et F0 (et de n) juste en "lisant" la dernière ligne de la matrice An

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 21-01-15 à 17:32

mais on a F0=F1=1, quel est le lien avec la dernière ligne de la matrice?

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 21-01-15 à 17:37

on devrait faire Fn = AnU0?

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 21-01-15 à 17:48

pff il faut que je le rouvre l'éditeur LaTeX que je venais juste de fermer ...

la question 1c Un = AnU0 se traduit par

\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_n & b_n\\c_n & d_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_1\\ F_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_n & b_n\\c_n & d_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}

les an, bn cn dn étant les trucs afferux pleins de racines carrées de An

et donc "la dernière ligne" se traduit par

F_n = c_nF_1 + d_n F_0 = c_n + d_n

il n'y a donc pour obtenir Fn en fonction de n qu'à "lire" cette dernière ligne de la matrice An,
avec un signe "+" au lieu de l'espace séparant ses deux termes.

c'est tout le sens de cet exo :
obtenir par un calcul matriciel (ici compliqué par des coefficients affreusement laids, mébon) donnant facilement (facilement si les coefficients étaient "plus simples") le nème terme Fn d'une suite définie par une récurrence linéaire

Posté par
fenamat84re : Calcul matriciel - spé maths 21-01-15 à 22:07

Oui, comme le dit mathafou, à la question 3)a), en reprenant mes réponses postées le 20-01-15 à 22:43, on a :

F_n=\frac{\sqrt{5}}{20}A3+\frac{\sqrt{5}}{20}A4
=\frac{4\sqrt{5}}{20}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]+\frac{2\sqrt{5}}{20}[(\sqrt{5}-1)(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(1+\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]

=\frac{2\sqrt{5}}{10}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]+\frac{\sqrt{5}}{10}[(\sqrt{5}-1)(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(1+\sqrt{5})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]

=\frac{2\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{2\sqrt{5}}{10}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n+\frac{5-\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+\frac{5+\sqrt{5}}{10}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n

=\frac{5+\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+\frac{5-\sqrt{5}}{10}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n

On trouve bien le résultat souhaité.

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 06:53

Bonjour! je trouve la même chose jusqu'à la 3è ligne, puis la transition avant-dernière / dernière ligne je ne comprends pas comment les signes changent... les deux premiers termes de la 4è ligne se suppriment oui, mais comment se fait le changement de signes de la dernière ligne?

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 08:54

si tu t'intéresses aux coefficients des termes en \left(\frac{1+\sqrt{5}[2}\right)^n

\frac{\red 2\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+\frac{\red 5-\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n :

ce coefficient est 2\sqrt{5} + \left(5 - \sqrt{5}\right) = 5 + \sqrt{5} le tout sur 10

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 08:55

* des termes en \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n

Posté par
fenamat84re : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 12:39

Citation :
les deux premiers termes de la 4è ligne se suppriment oui

Non, pas du tout !! Ils n'ont pas le même terme !! L'un est en (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n et l'autre en (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n.

Oui, comme le suggère mathafou, la 4e ligne c'est tout bonnement des additions et des soustractions entre termes en (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n et en (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n.
En espérant de ne pas se tromper lors du calcul.

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 13:07

nota (l'exo étant fini) :

\frac{5+\sqrt{5}}{10} peut s'écrire \frac{\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{5}}

oui, oui, je sais on "évite" de mettre des racines au dénominateur, mais en faisant ça,
et en posant le nombre d'or \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} et \varphi' = -1/\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, la formule finale se simplifie en :

F_n = \dfrac{\varphi^{n+1} - \varphi'^{n+1}}{\sqrt{5}} qui est la forme "usuelle" sous laquelle on trouve la suite Fn (suite de Fibonacci)

en partant ici de F0 = 1, F1 = 1 et donc à un décalage de 1 près par rapport à la forme habituelle
en partant de 0,1,1,2, on a en fait F_n = \dfrac{\varphi^n - \varphi'^n}{\sqrt{5}}, formule qui est la "formule de Binet" normale :

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 18:23

non non non je bloque toujours sur la 4è ligne!!! j'y suis depuis 1h et je ne trouve pas d'issues j'ai essayé de suivre ce que vous m'avez dit mais j'arrive pas du tout au résultat attendu...

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 18:35

?????

si tu t'intéresses aux seuls termes en \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n

\frac{\red 2\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\frac{\red 5-\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n

= \left(\frac{\red 2\sqrt{5}}{10} + \frac{\red 5-\sqrt{5}}{10}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n

= \frac{\red 2\sqrt{5}+ 5-\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n

et ne me dis pas que tu as des "difficultés" à simplifier 2\sqrt{5}+ 5-\sqrt{5} = 5 + \sqrt{5} !!

ensuite tu fais pareil pour les termes en \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 19:16

ça y est j'ai trouvé! je finirai la dernière question toute seule ; merci beaucoup beaucoup pour votre aide à tous les deux! une dernière question, vous pensez que si je mets sur ma copie se sera acceptable ou pas? on l'a jamais vraiment vu en détail mais ça fait parti de la formule usuelle de la suite de Fibonacci, vous en pensez quoi?

Posté par
mathafou Moderateurre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 19:26

tu peux toujours appeler ce que tu veux du nom que tu veux pour simplifier les écritures,

mais de là à parler officiellement de en tant que nombre d'or, je pense que ce serait outrepasser ce qui est attendu de cet exo !!

(je n'en ai parlé que parce que à mon avis c'était fini, les calculs de fractions et de simplification finale ne me semblaient pas si difficile !! )

Posté par
EnjoyPhoenixre : Calcul matriciel - spé maths 22-01-15 à 19:33

ah d'accord je vois, merci en tout cas!

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