Bonjour,

Ta matrice est fausse... Le coefficient ligne 3 / colonne 3 est -3 et non -1.

Pour calculer son rang, utilise la méthode du pivot de Gauss.

Mon coefficient ligne 3/ Colonne 3 est bien -3 comme je l'ai écrit...

Quelqu'un peut m'aider pour la question 2?

Je parlais de ton coefficient ligne 3 colonne 1 pardon. Il est faux.

Pour la question 2, je t'ai dit d'utiliser la méthode du pivot de Gauss : tu te ramènes à un système triangulaire et le nombre de lignes indépendantes te donne le rang.

Tu as trouvé pour le rang ? Je vois que tu veux déjà passer à la question 2.

2. Observe que f(u1)=0. Donc u1 appartient à Ker(f).

D'après 1, rang(f)=2 donc dim(Ker(f))=1 d'après le théorème du rang. Une base de Ker(f) est donc (u1).

Je ne vois pas comment montrer qu'elle est de rang 2.... Car avec la méthode du pivot de Gauss je n'arrive pas à éliminer une ligne...
En tt cas, merci klux car je n'ai pas de cours sur ce chapitre, donc je regarde sur internet...Mais c'est assez compliqué :s
Je ne comprend pas le rapport entre la base canonique, l'endomorphisme de f et la matrice M...

Les opérations élémentaires ne modifie pas le rang donc en faisant L2 <-- L2-3L1 et L3 <-- L3-3L1 on arrive à :

-1  1  0
0 -5 -3
0  0  0.

Si tu n'as pas trouvé ça, c'est que tu n'as pas corrigé l'erreur que je t'ai signalée plus haut. La matrice M est :

-1  1  0
-3 -2 -3
-3 -2 -3

et non ce que tu as écrit plus haut...

Bref, les opérations faites plus haut montrent que le rang de M vaut 2.

Je teste une méthode pour le rang de M....
J'ai lu qu'on pouvait dire que M est inversible car det(M)=9 0 donc, rg(M)=3

Non...?

Effectivement, vu mon erreur sur la ligne 3, colonne 1 je pouvais pas avancer avec le pivot de Gauss. Merci!
Donc je suppose qu'elle est de rang 2 et que u1Ker(f).
Comment puis-je en déduire une base de (f)?

Je suis totalement, perdu... Je peu comprendre les réponses mais je ne sais pas du tout par où attaquer ..

Je reviens à la charge avec le rang de la matrice :

M= -1  1  0
      -3 -2 -3
      -3 -2 -3

On peut pas simplement faire L3 -> L3-L2
donc :

M= -1  1  0
      -3 -2 -3
        0  0  0
Ce n'est pas suffisant?

J'ai rien dit je viens de voir la définition d'une matrice échelonnée :/


Je suis toujours à la question 2...

Ok merci klux, je comprend tout ce que tu m'écris. Mais je ne sais pas faire la suite, il y a des notations que je n'ai jamais étudié...
Je pourrais avoir le corrigé complet de l'exercice...? Je travaillerai sur un corrigé même simplifié...Merci d'avance!

Voilà un peu de lecture sur les matrices...

Voilà le corrigé que je propose :

1. La matrice M est :

-1  1  0
-3 -2 -3
-3 -2 -3.

En réalisant les opérations élémentaires L2<--L2-3L1 et L3<--L3-3L1, on obtient :

-1  1  0
0 -5 -3
0  0  0

donc M est de rang 2.

2. Par produit matriciel, f(u1)=0 donc u1 appartient à Ker(f).

Or Ker(f) est de dimension 1 d'après le théorème du rang et la question 1, donc une base de Ker(f) est (u1).

3. L'équation f(u)=u1 n'admet pas de solution (le montrer à l'aide de la méthode du pivot de Gauss par exemple).

Donc u1 n'appartient pas à Im(f). On peut en déduire que l'intersection entre Ker(f) et Im(f) est réduite à {0} (car si x appartient à l'intersection, il est colinéaire à u1, or les vecteurs colinéaires à u1 non nuls n'appartient pas à Im(f) d'après ce qui précède donc x=0).

Donc Ker(f) et Im(f) sont en somme directe. De plus, il y a égalité des dimensions d'après le théorème du rang. Donc Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires dans R^3.

4. B' est une famille de R^3 composée de 3 vecteurs donc il suffit de prouver sa liberté pour montrer qu'il s'agit d'une base de R^3.

En prenant a, b et c trois réels tels que au1+bu2+cu3=0, on en déduit facilement que a=b=c=0 donc B' est libre et donc B est une base d'après la remarque préliminaire.

Par produits matriciels, f(u1)=0, f(u2)=-2u2 et f(u3)=-4u3 donc D est :

0  0  0
0 -2  0
0  0 -4.

5. P est :

3 -1  1
3  1 -3
-5  1 -3.

P^(-1) est :

  0   1/8  -1/8
-3/2  1/4  -3/4
-1/2 -1/8  -3/8

(que l'on obtient en inversant un système à l'aide du pivot de Gauss par exemple).

D'après la formule du changement de base, M=PDP^(-1).

6. Une récurrence sur l'entier n fournit D^n :

0   0      0
0 (-2)^n   0
0   0    (-4)^n.

Puis une autre récurrence sur l'entier n fournit M^n=PD^nP^(-1) que l'on peut calculer en effectuant les produits matriciels précédents.

7. Simple application du résultat précédent avec n=2009.

Merci beaucoup Klux!
J'ai bien travaillé dessus j'ai tout de même 2 questions.


A la question 3, f(u)=u1
<=> Systeme : -x+y=3
                        -3x-2y-3z=3
                        -3x-2y-3z=5           ? En résolvant ce systemen on s'aperçoit qu'il n'y a pas de solution possible?

A la question 4,

Je ne comprend pas le passage de D à P, matrice de passage ...


Merci en tout cas pour ton aide! (J'ai un autre exercice sous la main où je bloque à la question 3, je vais le poster aussi...)

Merci pour ton corrigé, j'ai mon examen ce matin on verra comment cela se passe!

Alors cet examen ?