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calcul modulaire - equation

Posté par
ivolavo27
19-06-19 à 14:38

Bonjour,

J'ai des problemes a comprendre comment resoudre exercises comme le suivant:

Trouver toutes les solutions dans Z/28Z de l'équation.
4x − 24 = 0

La solution donne est:

4x - 24 ≅  0 mod 28
4 (x-6) ≅ 0 mod 28
x-6 = 0
x-6 = 7   x-6=14         x-6=21
x = 6    ou      x=13     ou             x=20           x=27 (-1)

Pouvez m'aider a comprendre? ..
merci d'avance

Posté par
jsvdb
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 14:56

Bonjour ivolavo27.

Tu dois résoudre en fait l'équation 4x = 24 + 28n c'est-à-dire x = 6 + 7n et le tout modulo 28.

Donc tu regardes pour n = 1 2 3 4 5 ... et ça te donne x = 6 13 20 27 33 ( = 6) et on recommence.

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 14:59

Bonjour

On veut résoudre 4(x-6)\equiv   0 \pmod {28}.

Par simple examen on voit que les possibilités sont x-6\equiv 7 \pmod {28} ou

x-6\equiv 14 \pmod {28} ou  x-6\equiv 21 \pmod {28}.


Ensuite on en tire x

Posté par
ivolavo27
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 15:18

Caméliajsvdb Merci beaucoup.. mais c'est encore pas claire pour moi
avez vous un example si vous plait?

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 15:24

Mais c'est un exemple!
Essaie de résoudre 6x\equiv \pmod {36}.

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 15:25

Faute de frappe 6x\equiv 0 \pmod {36}

Posté par
ivolavo27
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 15:42

Camélia

x = 0  ou x=6  ou x=12  x=18 x=24
C'est correct?

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 16:00

Il en manque un!

Posté par
ivolavo27
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 16:04

x= 30 ?

Il y a une regle ou je dois juste essayer?
Merci !

Posté par
Camélia Correcteur
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 16:18

Ca fonctionne comme n'importe quelle équation. Il faut juste se méfier des diviseurs de 0.

Posté par
etniopal
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 16:25

Pour tout t de   je désigne par t* la classe modulo 28 de t .
On cherche  S := { X    /28 │  
X =  24*  }
    ...Soient X   et  x   X  .
      4x - 24   est donc  divisible par 28 .  n := (4x - 24)/28  est donc un élément de et on a :  x =  6 + 7n .
Si on divise n par 4 on trouve  q et   r   {0 , 1 , 2 , 3} tels que      n = 4q + r  donc  x = 6 + 28q + 4r
On a donc X = x* = (4r)*
et  par suite  S    { 6* , 13*  , 20* , 27* }  = { 6* , -11*  , -8* , -1 * }

Inversement  4.6* = 24* ,  4.13* = 52* = 24* , 4.20* = -32*  = -4* = 24* et 4.27* = -4* = 24*   prouve que  S =  { 6* , 13*  , 20* , 27* }  


Posté par
ivolavo27
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 16:33

Camélia Merci, c'est un peu mieux maintenant.
J'ai une autre example que je ne viens pas a comprendre:

6x + 4 = 1 mod 27
6x + 3 = 0 mod 27
3 ( 2x + 1 ) = 0 mod 27
2x+1=0 ou 2x + 1 = 9 ou 2x+1 = 18

x 2-1  = 14 mod 27
x =14 = 0 ou x = 8*14 mod 27
x = 13  x = 4

je me suis perdu ;(

Posté par
etniopal
re : calcul modulaire - equation 19-06-19 à 16:40

On cherche  S := { X ... │   4.X =  24*  }

Posté par
ivolavo27
re : calcul modulaire - equation 20-06-19 à 09:35

Comment il passe a

x 2-1  = 14 mod 27
x =14 = 0 ou x = 8*14 mod 27
x = 13  x = 4  
??



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