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calcul vectoriel

Posté par titine69 (invité) 18-02-06 à 14:42

Bonjour à tous, j'ai un exercice de maths sur les vecteurs et j'avoue que je ne m'en sors pas du tout j'ai essayé de remplacer et d'exprimer u en fonction de v mais ça me donne des lignes de calculs incompréhensibles...

Soit (i,j,k) une base orthonormé directe dans\mathbb{R}^3. Déterminer les vecteurs u et v tels que:

\{{i vectoriel u + j vectoriel v = k\atop i.u + j.v =i.(j vectoriel k)}
et u + v = i - 3j

merci d'avance.

Posté par titine69 (invité)j ai essayé... 18-02-06 à 15:19

dc voila j'ai essayé un autre truc pour voir si ça marche mai je ne sais pas si c'est juste...
j'ai trouvé les coordonées des vecteurs: U(1,1,0) et V(0,0,-4)
et ce que c'est juste?
merci d'avance.

Posté par titine69 (invité)... 18-02-06 à 15:29

non en fit ce que j'ai mis au dessus c'est faux... s'il vous plait, aidez mo je ne m'en sors plus dans ce charabia.

merci d'avance

Posté par Pierre Carré (invité)Calcul vectoriel 18-02-06 à 15:32

Bonjour Titine69

Il ne faut pas esssayer de tirer u et v dans certaines des équations pour les remplacer dans les autres, mais utiliser les propriétés du produt scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte.

Pour ce qui suit, je note (u,v,w) le produit mixte des vecteurs u, v et w :
(u,v,w)=u.(v\times w).

1) a) De la première équation, en multipliant scalairement par i dans les deux membres, on obtient après simplifications (v,i,j)=0.
D'où, v.k=0.
Ainsi, v et k sont orthogonaux : v=a\,i+b\,j.
b) En multipliant par j dans les deux membres, on arrive à un conclusion similaire pour u: u=c\,i+d\,j.
c) En multipliant par k dans les deux membres, on aboutit à l'équation b-c=1.
2) En remplaçant u et v par les résultats obtenus en (1a) et (1b),
on obtient l'équation c+b=1, qui combinée avec la précédente donne b=1 et c=0.
Ainsi, u=d\,j et v=a\,i+j.
3) En injectant ces résultats dans la troisième équation, on trouve a=1 et d=-4.
D'où u=-4j et v=i+j.

Au plaisir.

Posté par titine69 (invité)oulala 18-02-06 à 15:44

bonjour pierre carré,

merci de m'aider mais je comprend pas comment tu as multiplié sacalirement par i dans la première équation...

est ce qu'il faut que je pose les coordonées de i, j, k, u et v:
i(1,0,0)
j(0,1,0)
k(0,0,1)
U(Ux,Uy,Uz) et V(Vx,Vy,Vz)??

merci

Posté par Pierre Carré (invité)Calcul vectoriel 18-02-06 à 15:56

Rebonjour Titine69 !

Non, il faut utiliser les propriétés des différents types de produit.
Mets un résumé de toutes ces propriétés devant toi et compare avec le calcul ci-dessous.

Pour (1a) : la première équation donne successivement

(i,i,u)+(i,j,v)=i.k
0+(v,i,j)=0
(le produit mixte est nul si deux vecteurs sont parallèles, le produit mixte ne change pas si on opère une permutation circulaire des trois vecteurs, le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul).
v.(i\times j)=0
(traduction de l'égalité précédente)
v.k=0
v et k orthogonaux.

Est-ce bien compris ?

Au plaisir.

Posté par titine69 (invité)re : calcul vectoriel 18-02-06 à 15:59

ah oui j'ai compris!!
merci beaucoup!!

Posté par titine69 (invité)re : calcul vectoriel 18-02-06 à 16:03

donc si je ne suis pas bête, (i,i,u) = (u,i,i) et dc c'est nul??

Posté par titine69 (invité)re : calcul vectoriel 18-02-06 à 16:23

pourquoi on a b - c =1 ça ne serait pa plutot a - d = 1?

Posté par titine69 (invité)re : calcul vectoriel 18-02-06 à 16:33

nan en fait j'ai compris merci beaucoup de m'avoir aidé.
a++

Posté par titine69 (invité)Pierre Carré aide moi lol 18-02-06 à 17:50

pierre carré s'il teplait aide moi j'avais compris comment on faisait pour trouver b - c = mais en refaisant l'exercice je ne m'en rappel plus! :s
merci

Posté par Pierre Carré (invité)Calcul vectoriel 18-02-06 à 18:53

Bonsoir Titine69 !

Excuse-moi, je me suis absenté.

Voici.

En multipliant les deux membres de l'équation 1 donnée, on obtient successivement :
(k,i,u)+(k,j,v)=k.k
(u,k,i)+(v,k,j)=1
(permutations circulaires dans le produit vectoriel et k vecteur unitaire)
u.j-v.i=1
(la base (i,j,k) est orthonormée : k\times i=j et k\times j=-i)
(a\,i+b\,j).j-(c\,i+d.j).i=1
(en utilisant les résultats précédents obtenus pour u et v)
b-c=1
(produits scalaires entre vecteurs de la base)

Es-tu sauvée ?

Au plaisir.

Posté par titine69 (invité)re : calcul vectoriel 19-02-06 à 12:40

dsl mais non ça ne vas toujours pas car précédement tu as posé u = ci + dj et v = ai + bj  et là tu as inversé ça ne marche plus... en tout cas pour ce qui est des propriété du produit mixte et tout ça m'a beaucoup aidé et je t'en remerci

Posté par Pierre Carré (invité)Calcul vectoriel 19-02-06 à 13:27

Bonjour Titine69 !

Excuse-moi, je n'avais pas vu que j'avais affecté les lettres a et b au vecteur v et les lettres c et d au vecteur u. Dans mon esprit, c'était le contraire. Donc effectivement, avec les notations employées, on a bien a-d=1.

Au plaisir.

Posté par titine69 (invité)re : calcul vectoriel 19-02-06 à 13:33

du coup ton raisonnement ne correspond plus aux résultat trouvé puisqu'on retombe avec 4 inconnus?

Posté par Pierre Carré (invité)Calciul vectoriel : correctif 19-02-06 à 15:18

Tu as raison Titine 69, ça change le système d'équations mais le principe reste le même.
En n'espérant que cette fois est la bonne, voici un correctif.

1) a) De la première équation, en multipliant scalairement par i dans les deux membres, on obtient après simplifications (v,i,j).
D'où, v.k=0
Ainsi, v et k sont orthogonaux : v=a\,i+b\,j.
b) En multipliant par j dans les deux membres, on arrive à un conclusion similaire pour u: u=c\,i+d\,j.
c) En multipliant par k dans les deux membres, on aboutit à l'équation d-a=1.
2) En remplaçant u et v par les résultats obtenus en (1a) et (1b), on obtient l'équation c+b=0.
3) En injectant ces mêmes résultats dans la troisième équation, on trouve c+a=1 et d+b=-3.
Au total, nous avons un petit système de quatre équations du premier d'inconnues a, b, c et d. Résolu ce système donne a=-2, b=-2, c=3 et d=-1.

Ainsi, u=3\,i-j et v=-2\,i-2\,j.

En tout cas, les vecteurs u et v trouvés vérifient bien les équations données.

Au plaisir.

Posté par titine69 (invité)re : calcul vectoriel 19-02-06 à 15:41

c'est vraiment gentil d'avoir refait une correction.
Merci Beaucoup a++



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