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Calculer une aire sous une courbe Intégrale

Posté par
titix18
14-04-10 à 16:58

Voila j'ai un exercice en maths et j'suis vraiment perdu!

On considère la fonction carrée sur l'interaller [0;1] notée f et représentée par la courbe C.
On veut calculer l'aire sous la courbe C, c'est çà dire l'aire de la surface S comprise entre m'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation x=1
On partage l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (1/n).
On construit alors sur ces intervalles n rectangles intérieurs à la surface S (en gris sur le dessin) et n rectangles qui contiennent S (aux contours rouges sur le dessin).
On note Un la somme des aires de la prmière famille de rectangles et Vn la sommes des aires de la deuxieme famille

1. Montrer que  Un=1/(n3) [0²+1²+...+(n-1)²] = 1/(n3) n-1 k=0
et Vn = 1/(n3) [1²+2²+ ...+n²] = 1/(n3) n k=1

2. Montrer par récurrence que n k=1 k² = (n(n+1) (2n+1)) / 6
En déduire de nouvelles expressions des termes Un et Vn

3. Montrer que les deux suites sont adjacentes et calculer leur limite commune. En déduire une définition de l'aire de la surface S

4. Déterminer une fonction constante g définie sur l'intervalle [0;1] telle que l'aire sous sa courbe soit égale à l'aire de la surface S

Calculer une aire sous une courbe Intégrale

Posté par
LeFou
re : Calculer une aire sous une courbe Intégrale 14-04-10 à 17:11

Bonjour, exercice intéressant.
Je veux bien t'aider^^
Tu es d'accord que les rectangles on toujours même largeur ?
Ensuite pour avoir la hauteur, tu dois calculer f(...)=(...)²
Bien sur, les deux rectangles ont une hauteur différentes.
L'une est facile à trouver, pour l'autre il faut juste réfléchir un peu.

Posté par
titix18
re : Calculer une aire sous une courbe Intégrale 14-04-10 à 17:35

oui jusque la je comprend. Mais c'est les questions qui sont incomprehensibles pour moi! ^^

Posté par
LeFou
re : Calculer une aire sous une courbe Intégrale 14-04-10 à 17:44

Déjà essaye de calculer U1,U2.. et V1, V2...
Puis tu pourras en déduire l'expression de Un.
Déjà remarque que tu as U_n=\Bigsum_{k=0}^n\u_n
Où un correspond à l'aire de n-ième rectangle.
si tu trouves un en fonction de n, tu trouves Un

Posté par
LeFou
re : Calculer une aire sous une courbe Intégrale 14-04-10 à 17:47

Oups à la fin c'est des uk
Et c'est le k-ième , désolé.
Tu trouves uk tu trouves Un



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