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Calculer une projection ou une symétrie

Posté par wedge (invité) 02-06-05 à 15:12

Bonjour,
en TD j'ai fait des exos (j'ai pris plus ou moins la correction) mais je ne comprend pas le raisonement, la marche à suivre pour résoudre ce genre de question...
J'aimerai qu'on m'explique par rapport à ces questions "type" :

a) Calculer la projection orthogonale sur la droite de R2 d'équation x + 2y = 5.
b) Calculer la sym´etrie orthogonale d'axe le plan de R3 d'équation x + 2y + 3z = 14.
c) Calculer la projection parall`ele au plan d'équation 3x+2y+z = 0 sur la droite joignant (1, 1, 1) et (2, 3, 4).

Posté par jiju33 (invité)re : Calculer une projection ou une symétrie 02-06-05 à 17:31

a) soit E un espace euclidien de dimension 2 (O,i,j) un repere orthonormale de cet espace

A = O + i + 2j € R2 ( car 1 + 2*2 = 5 )
donc R2 = A + Ru  avec u la direction de R2
pour déterminer u on a besoin de 2 points la on en a déjà 1 !

B (5,0) € R2   R(B-A) = Ru

R(4,-2) = R(2,-1)   R2 = A + u  avec u = O + 2i -j


ensuite on détermine l'orthogonale de Ru comme dim E = dim Ru + dim Ru orto  on en déduit que dim Ru ortho = 1 et Ru orthogonal est une droite vectoriel (se voit sur un dessin sinon )
donc il faut déterminer Ru orthogonal
ensuite ta projection ce n'est rien d'autre que la projection sur R2 parrallement à Ru orthogonal donc cela signifie que M' (l'image de M) appartient à R2 et le vecteur MM' appartient à l'orthogonal de Ru t'écris et ta les coordonnées de M' qui arrivent en fonction des coordonnées de M


en clair : 1)tu te ramènes à une projection sur F parrallement à G
           2)M' € F et MM' € G

b) tu fais pareil sauf que le 2) est différent mais si t'as la définition d'une symétrie ca roule sinon tu te fais un petit dessin

c)     1)tu détermines la direction de la droite
       2) tu vérifies que E est somme directe de D (la direction de la droite et de P (la direction du plan) c'est important car si tel n'est pas le cas parler de projection n'a aucun sens et on peut se retrouver fort dépourvu
       3) M'€ au plan et MM'€ D

Posté par wedge (invité)re : Calculer une projection ou une symétrie 02-06-05 à 17:37

ok merci je vais travailler dessus !



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