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Calculer une vitesse de convergence d'une suite

Posté par
ile93maths
25-10-13 à 13:17

Bonjour,

J'aimerais savoir comment calcule t-on une vitesse de convergence d'une suite. Merci d'avance

Comment procède t-on, et quelles données doit-on utiliser ?

Merci d'avance

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 15:01

Pour une suite comme : V0 = 1 ; Vn+1 = 1 + (1/Vn).

Comment je dois procéder par exemple, je suis au point mort là je ne vois pas comment démarrer.

Merci pour votre aide.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 16:06

Bonjour, je ne sais pas ce que tu entends par "vitesse de convergence" ?
Par contre c'est une suite récurrente et tu peux étudier ses variations et sa convergence.
Pour commencer il est toujours une bonne idée de dessiner la courbe y=1+1/x et la droite y=x (qui sert à rabattre les points de l'axe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer la récurrence). A chaque verticale bleue on a un terme de la suite.
Calculer une vitesse de convergence d\'une suite
Ici on voit donc graphiquement que la suite est alternée et oscille autour de sa limite de 1.62.

Reste à démontrer tout ça. Mais au niveau Terminale, tu es d'habitude guidé par des questions pour aboutir au résultat.

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 16:15

Je devais avant ça déterminer la limite ce que j'ai fais par des calculs et j'en suis arrivée à l 1.

Après on me demande de calculer la vitesse de convergence donc je ne sais pas si faut que j'en donne la valeur exacte ou non, je ne comprends pas bien la question.

Pour ma part, j'avais pensé suite à la question précédence que puisque la limite de la suite est 1, on dit alors que la convergence de la suite Vnn vers l est lente lorsque la limite 1.

Mais bon je ne pense pas répondre à la question.

Merci d'avance à vous pour votre aide.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 16:29

ha non la limite de cette suite n'est pas 1.
C'est sûr que si tu commences à nous demander les questions par la fin sans nous dire le début, ça complique la chose.
je ne connais pas la définition de la notion "vitesse de convergence". Si tu as une définition ?

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 16:35

Mon raisonnement pour déterminer la limite :

Si Vn admet une limite alors lim (quand n tend vers + l'infini) Vn = lim (quand n tend vers + l'infini) Vn+1 = l

Vn+1 = Vn
1 + (1/l) avec l 0
1 = l²
1 = l
1 = l
Alors lim (quand n tend vers + l'infini) tend vers 1.

Non je n'ai pas de définition.


Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 16:39

Oui c'est la bonne idée pour la limite, sauf que ça donne L=1+1/L et pas ce que tu as mis.
(d'où L²-L-1=0 L=(1+5)/2 ~ 1.62 que tu vois sur mon dessin (l'intersection de y=x avec y=1+1/x)

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 16:47


Alors si je mets :


Vn+1 + Vn
L = 1+(1/L)  avec L 0

Après ça revient au même de ce que j'ai fais sauf en inversant les deux côtés ou alors je ne vois pas

Et pourquoi vous parlez de L²-L-1=0 et pour trouver (1+5)/ 2 c'est lorsque vous résolvez l'équation ça j'ai bien compris.

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 16:54

L=1+1/L multiplie les deux cotés par L L²=L+1 L²-L-1=0 à résoudre.

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 16:58

D'accord donc en résolvant on a deux solutions et on prend la solution positive puisque L 0.

Donc oui je suis d'accord la limite est de 1,62 environ.

Pour obtenir la vitesse de convergence je dois ensuite me servir de la limite je suppose ?

merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 17:08

je crois que la définition de la vitesse de convergence c'est \lim_{n->+\infty}\dfrac{U_{n+1}-L}{U_n-L} donc calcule cette limite.
Si ça converge vers K, on dit que la suite converge linéairement. C'est le cas ici je crois.

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 17:14

D'accord merci

Alors ça me donne :

lim (quand n tend vers + l'infini) (1 + (1/Vn) - ((1+5)/2)) / (Vn - ((1+5)/2)).

= (1 + (1/Vn)) / Vn

Oulah dans toutes ces parenthèses je crois que je me suis embrouillé, ce n'est pas bon là ?

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 17:24

non. Et garde L pour l'instant. et rappelle toi que L=1+1/L

(Vn+1-L)/(Vn-L) = (1+1/Vn - L)/(Vn-L)= (1+1/Vn - (1+1/L) )/(Vn-L)= (1/Vn-1/L)/(Vn-L)= (L-Vn)/(VnL(Vn-L))=-1/LVn qui tend vers -1/L²

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 17:28

En fait il y a des valeurs absolues dans la définition de la vitesse de convergence donc il faut conclure que \lim_{n->+\infty}\dfrac{|U_{n+1}-L|}{|U_n-L|}=\dfrac{1}{L^2} et donc que la suite converge linéairement.

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 17:32

Oui j'ai compris mon erreur, merci.

Alors :

(Vn+1-L)/(Vn-L) = (1+1/Vn - L)/(Vn-L)= (1+1/Vn - (1+1/L) )/(Vn-L)= (1/Vn-1/L)/(Vn-L)= (L-Vn)/(VnL(Vn-L))=-1/LVn qui tend vers -1/L²

-1/L²
on remplace ensuite le L par notre limite trouvé précédemment : (1+5)/2

donc on a (-1)/((1+5)/2) = (1-5)/2 soit la deuxième solution de L² - L - 1 = 0 et (1-5)/2 < 0

merci d'avance

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 17:44

Dans la définition on doit alors trouver 1/L²

Sauf qu'avec (Vn+1-L)/(Vn-L) = (1+1/Vn - L)/(Vn-L)= (1+1/Vn - (1+1/L) )/(Vn-L)= (1/Vn-1/L)/(Vn-L)= (L-Vn)/(VnL(Vn-L))=-1/LVn cela tend vers -1/L² donc on met des valeurs absolues autour pour dire que l'on obtient 1/L² et que la suite converge linéairement.


Mais cette définition est-elle approprié car au départ on ne sait pas que cela va tendre vers 1/L² ?

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 17:57

On cherche s'il y a une limite, si oui alors on conclut que la suite converge linéairement.

si ça n'avait pas convergé vers une constante, on aurait essayé \dfrac{|U_{n+1}-L|}{|U_n-L|^q} avec q=2;3;...

moi je ne connaissais pas cette notion, je suis juste ce que j'ai trouvé sur wikipedia :

Cela dit, je trouve curieux que ton prof te demande ça s'il n'a jamais définit la notion de vitesse de convergence.

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 18:05

C'est un approfondissement, il nous demanderait pas ça en devoir je suppose.

Citation :
On cherche s'il y a une limite, si oui alors on conclut que la suite converge linéairement.
Justement on sait déjà qu'il y a une limite donc on sait déjà que la suite converge linéairement alors.

Mais avoir la vitesse c'est autre chose, non ?

Je ne comprends pas tout de l'article wilkipedia.

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 18:05

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 18:14

Non j'ai voulu dire si \dfrac{|U_{n+1}-L|}{|U_n-L|} a une limite alors on dit que la suite que la suite converge linéairement.
(on sait déjà que la suite converge vers L. (Si elle ne converge pas, la notion de vitesse de convergence n'a pas de sens))

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 18:18

D'accord je n'avais pas compris comme ça en effet

donc si j'ai bien saisi toutes les notions

On a valeur absolue de (U(n+1)-L)/ valeur absolue de (Un - L)

(Vn+1-L)/(Vn-L) = (1+1/Vn - L)/(Vn-L)= (1+1/Vn - (1+1/L) )/(Vn-L)= (1/Vn-1/L)/(Vn-L)= (L-Vn)/(VnL(Vn-L))=-1/LVn cela tend vers -1/L²

Comme (U(n+1)-L)/ valeur absolue de (Un - L) a une limite qui tend vers -1/L², la suite converge linéairement

Cela suffit pour répondre à la question ?

Merci d'avance à vous

Posté par
Glapion Moderateur
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 18:21

oui je pense ( et le quotient des valeurs absolues tend vers 1/L² pas -1/L²)

Posté par
ile93maths
re : Calculer une vitesse de convergence d'une suite 25-10-13 à 18:23

Oui une erreur de ma part puisque oui une valeur absolue est toujours positive.

Merci énormément pour votre aide.

Bonne continuation



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