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Niveau troisième
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Calculs

Posté par sliwa28 (invité) 24-09-05 à 14:03

Salut ,
SVp aidez moi à résoudre cet exercice !!
Alors :

On a x , y , et z trois nombres naturels non nuls tel que :

xy + yz + zx = 0

1) Démontrer que :    
y+z/x  +   z+x /y   +  x+y/z   = -3

2) Calculer :
x+y/xy   +  y+z/yz  +  z+x/zx  

Merci d'avance


Posté par
cinnamon
re : Calculs 24-09-05 à 14:12

Salut,

il doit manquer quelques parenthèses....

Mais je pense qu'il suffit de tout réduire au même dénominateur et de simplifier...

à+



Posté par sliwa28 (invité)re : Calculs 24-09-05 à 14:19

c'est ce que j'ai fait : mais ca ne mène à rien
ya des x² et des y² et à la fin ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re:Calculs 24-09-05 à 14:36

Bonjour;
je dirais plutot que x,y et z sont des réels non nuls.
en divisant par xyz tu as que:
\fbox{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0}
posons alors \fbox{a=\frac{1}{x}\\b=\frac{1}{y}\\c=\frac{1}{z}} tu as donc \fbox{a+b+c=0} d'où:
(*)\fbox{a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(a+b)^3=-3a^2b-3ab^2=-3ab(a+b)=3abc} et comme
\fbox{\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(a+c)}{ac}+\frac{c(a+b)}{ab}=\frac{-a^2}{bc}+\frac{-b^2}{ac}+\frac{-c^2}{ab}=\frac{-a^3-b^3-c^3}{abc}} on voit que:
3$\fbox{\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=-3}
(*)3$\fbox{\frac{x+y}{xy}+\frac{y+z}{yz}+\frac{z+x}{zx}=a+b+b+c+c+a=2(a+b+c)=0}
Sauf erreur

Posté par sliwa28 (invité)re : Calculs 24-09-05 à 17:25

mercii beaucoup , en fait j'ai commencé de la même façon mais ensuite quand j'ai obtenu que :
1/z + 1/x + 1/y =0

Et : ( y+z / x ) + ( z+x /y) + (x+y/z)
       y/x + z/x + z/y + x/y + x/z + y/z
        y/x + y/z + z/x + z/y + x/y + x/z
      y(1/x + 1/z ) + z( 1/x + 1/y ) + x(1/y + 1/z )

on a: 1/x+1/z = -1/y  donc y(-1/y)+z(1/x+1/y)+x(1/y+1/z)
on a: 1/x+1/y = -1/z  donc  -1 +z(-1/z)+x(1/y+1/z)
on a: 1/y+1/z = -1/x   donc -1-1 x(-1/x)
                            = -1-1-1

DONC : y+z/x  +   z+x /y   +  x+y/z   = -3

Je pense que c'est juste aussi







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