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caractérisation d une équation?

Posté par orm (invité) 14-10-05 à 10:58

voilà, j'ai cette inéquation mais qu'en faire?

4(x2+y2+xy-x-y)+1 > 0

en fait, je devais caratériser un ensemble et je suis tombé sur cette inéquation. A partir de là, je bloque! Qu'est-ce que ça représente?

Posté par philoux (invité)re : caractérisation d une équation? 14-10-05 à 11:29

Bonjour,


x²+y²+xy-x-y+1 = (x+y)²/2+x²/2+y²/2-x-y+1 = (x+y)²/2+(x²-2x)/2+(y²-2y)/2+1 = (x+y)²/2+(x-1)²/2 -1/2+(y-1)²/2-1/2+1 = (1/2)( (x+y)²+(x-1)²+(y-1)² )

la somme des termes carrés est tjs positive ou nulle

nulle qd x+y=0 et x=1 et y=1 => impossible

donc l'expression est vraie pour tout x,y

A vérifier...

Philoux

Posté par orm (invité)re : caractérisation d une équation? 14-10-05 à 12:24

il s'agit bien d'une parabole?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : caractérisation d une équation? 14-10-05 à 12:28

Bonjour,

Tu plaisantes, non ?
philoux t'a expliqué que la solution est le plan tout entier.

Nicolas

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : caractérisation d une équation? 14-10-05 à 19:21

Bonjour;
Philoux,je crois qu'une petite erreur s'est glissée dans ton calcul.
Sauf erreur de ma part...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : caractérisation d une équation? 15-10-05 à 04:19

4(x2+y2+xy-x-y)+1>0\Longleftrightarrow x^2+y^2+xy-x-y>-\frac{1}{4}\Longleftrightarrow y^2+y(x-1)>-x^2+x-\frac{1}{4}\Longleftrightarrow (y+\frac{x-1}{2})^2>\frac{2x-3x^2}{4}
Si x\in]-\infty,0[\cup]\frac{2}{3},+\infty[ alors tout y convient.
Si x\in[0,\frac{2}{3}] alors on doit avoir:
|y+\frac{x-1}{2}|>\frac{sqrt{2x-3x^2}}{2} et donc que ou\{{y>\frac{sqrt{2x-3x^2}-x+1}{2}\\y<\frac{-sqrt{2x-3x^2}-x+1}{2}
une représentation des deux fonctions f_1{:}[0,\frac{2}{3}]\to\mathbb{R}\\x\to\frac{sqrt{2x-3x^2}-x+1}{2} et f_2{:}[0,\frac{2}{3}]\to\mathbb{R}\\x\to\frac{-sqrt{2x-3x^2}-x+1}{2} montre que le lieu cherché est l'extérieur d'une ellipse tangente aux axes des coordonnées en (\frac{1}{2},0) et (0,\frac{1}{2}) et dont l'axe secondaire est la première bissectrice.
Sauf erreurs bien entendu

caractérisation d une équation?

Posté par orm (invité)re : caractérisation d une équation? 15-10-05 à 10:03

ok merci elhor_abdelali.

Posté par philoux (invité)re : caractérisation d une équation? 15-10-05 à 11:04

Bien vu elhor

Mes excuses à orm...

Philoux


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