Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Caracterisation des matrices dans Mn(C) tels que A*(conjuguéA)=I
Bonjour tout le monde
J'ai du mal avec lexercice suivant:
On note A* la matrice conjuguée de A
Soit A une matrice de Mn(C) telle que A.A*=I
Montrer qu'il existe S de GLn(C) telle que A.S*=S
Merci.
bonsoir Cauchy
Non ce n'est pas la transconjuguée. J'ai juste preferé la noter comme ça, pcq je ne sais pas comment faire la barre au dessus de A
Alors, des idées cauchy?? Moi j'arrive a montrer le resultats quand la matrice est diagonalisable, mais sinon je n'y arrive pas encore
Donc ca fonctionne avec la transconjuguée en utilisant la réduction des matrices unitaires mais sinon je sais pas.
Quand c'est diagonalisable, tu fais comment?
Et les matrices de cette forme le sont-elles déja?
Il vient d'où l'exo parce qu'avec la transconjuguée ca marche nickel 
Bon l'exo est un Oral de l'X.
on notant A* la conjuguée de A (comme je l'ai déja dit, je ne sais pas comment faire pour la noter avec une barre au-dessus du A)
On supposant A.A*=I et que A est diagonalisable,
On montre que les valeurs propores de A sont de modules 1, donc les valeurs propores
(a_1=exp(i.b1),a_exp(i.b2),.....,a_n=exp(i.bn)) ,en utilisant que deux matrices qui sont semblables dans C sont aussi semblables dans R. on montre qu'il existe P dans GLn(R) telle que:
A=P^-1.diag(a_1,a_2,.....,a_n).P
apres on choisit pour S la matrice P^-1.diag(exp(i.b1/2),exp(i.b2/2),...........,exp(i.bn/2)).P
et par un simple calcule on verifie que
A.S*=S
sinon pour le cas general, i.e ou la matrice est trigonalisable, je n'arrive pas a le demontrer
Pour la barre au-dessus \overline{A}.
D'accord je vois(quoique la vu l'heure je vois pas directement pourquoi les valeurs propres sont de modules 1 
) mais ton résultat qui dit que deux matrices semblables sur C le sont sur R marche si les matrices sont dans Mn(R) me semble-t-il ce qui n'est pas le cas ici.
Bon allez moi je vais au lit la bon courage 
ah ouiiii! j'avais oublié ce details :S:S
Bon j'ai trouvé une generalistation de ce theoreme:d
les proposition i et ii sont equivalentes:
i- il existe (D,S) dans Mn(C) avec D diagonale et A.\overline{S}^=S.D
ii-la matrice A.\overline{A} est diagonalisable, ses valeurs propres etant reelles positives et
rg(A.\overline{A})=rgA
Reste plus qu'à le démontrer
Bon je reporend ma démonstration dans le cas où c'est diagonalisable.
Comme A et (conjuguée A) commutent, elles sont cotrigonalisables.
avec A.(conjuguée A)=I, alors on trouve que les valeurs propres sont de module 1.
apres on utilise la construction que j'ai donné dans mon post du 05/08/2007 à 04:06
LE cas general où c'est trigonalisable, est ce que quelqu'un a une idée?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac