Bonjour Pechor,

les colonnes de la matrice de l'application linéaire bijective
sont les coordonnées des images des vecteurs de la base de départ, donc ce doit être une famille libre,

et pour chaque choix de la première colonne,
il y a choix de la deuxième colonne,
donc on est dans une situation multiplicative.

Cordialement,
--
Mateo.

Je te pose la question d'une autre façon : combien d'automorphismes de existe-t-il ?

Je pense que tu sais que compter les automorphismes est la même chose que de compter les bases de , parce qu'un automorphisme est uniquement déterminé par l'image qu'il donne à une base de ton choix. En particulier, si B est une base de E, il existe un unique automorphisme de E qui envoie la base canonique sur B.

Ensuite, une base de n'est rien d'autre qu'une famille de vecteurs linéairement indépendants.

Pour toutes les construire, on commence par choisir un premier vecteur non nul . Ca fait choix (tout sauf le vecteur nul).
Ensuite, un deuxième vecteur non colinéaire à . a exactement multiples, qui sont . Ca fait donc choix pour .
Ensuite un troisième vecteur qui n'est pas dans . Ce sev est de dimension 2 et isomorphe à donc il contient exactement éléments. Ce nous laisse choix pour .
Ensuite est de cardinal , ce qui nous laisse choix pour
...
Et enfin, une fois construits , l'espace qu'ils engendrent est de cardinal , ce qui nous laisse choix pour le dernier vecteur de la base, .

Ca fait donc bien possibilités.