Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Probabilités et dénombrementTopics traitant de Probabilités et dénombrement [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Cardinal des parties d'un ensemble

Posté par
Nijiro 11-04-20 à 15:50

Bonjour,
Soit E un ensemble fini non vide tel que: Card(E)=n.
On considère l'ensemble défini par:
\Omega =\left\{(X;Y)\in P(E)\times P(E)/ X \subset Y\right\}
1/ Montrer que card()4n.
2/ Soit k un élément de {1;2;3;...;n} et Yk une partie de E telle que: card (Yk)=k.
On pose: \Omega _k=\left\{(X;Y)/ X\subset Y_k \right\}
a. Démontrer que: card(\Omega _k) = C^k_n 2^k
b. En déduire que: card(\Omega )=\sum_{k=0}^{n}{C^k_n 2^k}=3^n

Bon, je ne comprends même pas de quoi s'agit l'ensemble
Merci d'avance.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Cardinal des parties d'un ensemble 11-04-20 à 19:22

Essaye de comprendre ce qu'est avec un exemple.
E = {a,b,c,d}
Le couple ({a,c},{a,b,c}) est un élément de car {a,c} est inclus dans {a,b,c}.

Posté par
ThierryPomare : Cardinal des parties d'un ensemble 11-04-20 à 21:19

Bonsoir,

Yl y a une erreur dans la description de \Omega_k. Sinon, l'on constate que \Omega\subset\mathfrak{P}(E)\times\mathfrak{P}(E), de sorte que

\mbox{card}\,\Omega\leqslant\mbox{card}\,\left(\mathfrak{P}(E)\times\mathfrak{P}(E)\right)=\left(\mbox{card}\,\left(\mathfrak{P}(E)\right)\right)^2=\left(2^n\right)^2=\left(2^2\right)^n=4^n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Cardinal des parties d'un ensemble 11-04-20 à 21:54

Bonjour ThierryPoma,

Cardinal des parties d\'un ensemble

Posté par
Nijirore : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 13:20

Sylvieg @ 11-04-2020 à 19:22

Essaye de comprendre ce qu'est avec un exemple.
E = {a,b,c,d}
Le couple ({a,c},{a,b,c}) est un élément de car {a,c} est inclus dans {a,b,c}.

Je comprends maintenant. Merci Sylvieg! Donc, puisque les éléments de sont les couples (X;Y) avec X et Y sont deux parties de E, alors le cardinal de est égal au cardinal du produit cartésien  P (E)×P (E), mais on n'oublie pas que XY, alors card ()card ( P (E)×P(E)). Mais comment mieux expliquer cela, il y a une certaine ambiguïté.

Posté par
ThierryPomare : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 13:35

Bonjour,

Citation :
le cardinal de est égal au cardinal du produit cartésien  P (E)×P (E)


Tu en es vraiment certaine ?

Posté par
Nijirore : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 13:39

Nijiro @ 12-04-2020 à 13:20


Mais on n'oublie pas que XY, alors card ()card ( P (E)×P(E)). Mais comment mieux expliquer cela, il y a une certaine ambiguïté.

NonThierryPoma, c'est pour cela j'ai dit cela.

Posté par
ThierryPomare : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 13:43

Dans un premier temps, regarde ici Cardinal des parties d'un ensemble, puis essaie de te débrouiller.

Il y a une erreur dans la description de \OMega_k. Veux-tu mettre le bon énoncé, s'il te plait ?

Posté par
Nijirore : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 13:57

J'ai copié la consigne telle qu'elle est du livre. Peut-être une erreur d'impression.

Posté par
Nijirore : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 13:58

Mais comment fallait être la consigne?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 14:22

Proposition :

\Omega _k=\left\{(X;Y)\in P(E)\times P(E) / card(Y)= k \; et \; X\subset Y \right\}

Posté par
ThierryPomare : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 15:07

Bonjour Sylvieg,

A la suite de ceci

Citation :
Soit k un élément de {1;2;3;...;n} et Yk une partie de E telle que: card (Yk)=k.


je propose, pour tout entier k\in[1,\,n], de poser

\mathfrak{P}_k(E)=\left\{\begin{array}{c|c}P&P\in\mathfrak{P}(E)\mbox{ et }\mbox{card}\,X=k\end{array}\right\}

avec \mbox{card}\,\mathfrak{P}_k(E)=\mbox{C}_n^k. D'où

\Omega_k=\left\{\begin{array}{c|c}(X,\,Y)&(X,\,Y)\in\mathfrak{P}(E)\times\mathfrak{P}_k(E)\mbox{ et }X\subset{Y}\end{array}\right\}

Posté par
ThierryPomare : Cardinal des parties d'un ensemble 12-04-20 à 15:08

Erratum


\mathfrak{P}_k(E)=\left\{\begin{array}{c|c}P&P\in\mathfrak{P}(E)\mbox{ et }\mbox{card}\,P=k\end{array}\right\}

Posté par
Nijirore : Cardinal des parties d'un ensemble 15-04-20 à 12:41

ThierryPoma, sincèrement, je ne comprends pas J'essayais ces deux jours de résoudre l'exercice mais ça ne  marche pas. Sylvieg Je comprends ce que vous avez fait mais je ne sais pas quel changement aurait cela effectué?? J'essaye encore.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Cardinal des parties d'un ensemble 15-04-20 à 14:08

Pour 2)a) :
\Omega _k=\left\{(X;Y)\in P(E)\times P(E) / card(Y)= k \; et \; X\subset Y \right\} où k un élément de {1;2;3;...;n}.

Quel est le nombre de parties de E dont le cardinal est k ?

Soit Y une partie de E de cardinal k.
Quel est le nombre de parties de Y ?

En déduire le cardinal de \Omega _k.


Rechercher
Menu
Espace membre
11 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !