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cardinaux d'ensembles infinis
bonsoir a tous,
dans le cadre de mon projet de licence, ayant pour theme les cardinaux d'ensembles infinis, je suis amené a démontrer ce théoreme :
Soient E et F deux ensembles infinis tels que E 
F. On suppose que Card(E)< Card(F). Alors Card(F \ E) = Card(F)
la méthode "habituelle" pour ce type de preuve consiste a établir une bijection entre F \ E et F ou bien, par le théoreme de Cantor-Bernstein, une injection de F \ E dans F puis une injection de F dans F \ E, ce qui démontre l'existence d'une bijection et donc que mes ensembles ont meme cardinaux.
Or si il est facile de trouver une injection de F \ E dans F (a chaque element de F \ E j'associe lui meme dans F) l'inverse se revele beaucoup plus ardu...
pour "simplifier" j'ai tenté de raisonner avec R et N mais ... nada je n'y arrive pas... 
aussi, si quelqu'un avait une idee de methode ou meme une injection de R dans R \ N ca m'arrangerait beaucoup ^^
comprenez moi bien, j'aimerai démontrer ce théoreme et comprendre la démonstration aussi, si vous pouvez m'aider, je prefererai que vous ne donniez que quelques pistes plutot que de tout rediger.
merci d'avance
Salut,
Je n'ai jamais étudié les cardinaux des ensembles infinis, mais je pense qu'il y a plus simple que construire une telle injection en utilisant le fait que .
j'y ai pensé mais si pour des ensembles finis Card(E 
(F \ E)) = Card E + Card (F \ E) on n'a pas de telle relation pour des ensembles infinis...
en fait au tout debut, j'avais tenté de demontrer qqch comme ca mais je n'avais aboutit a rien.
je vais quand meme essayer de voir ce qu'on peut en tirer dans ce cas precis... on ne sait jamais ^^;
Je ne connais pas la définition des cardinaux des ensembles infinins mais je pense que pour des ensembles infinis A et B on a . Non ?
en effet j'avais oublier cette relation...
je tourne en rond la... je retourne a mon histoire d'injection ^^;
a moins que tu n'ai une idee bien precise en tete...
ok c'est bon j'ai trouvé ><
je merite des baffes >< au moins une bonne centaine ><
le pire c'est que j'avais tout ecrit sauf l'egalite avec card(F) ><
en gros il suffit de dire ca :
card F = max( card E , card(F \ E) )
or card F > card E (par hypothese)
donc card F = card (F \ E)
cqfd
merci beaucoup stokastik!!
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