Bonjour Belge-FDLE

indication :

utilise le fait que .

Ensuite, fais intervenir un polynôme du 3 degré.

Kaiser

Merci Kaiser, je vais essayer.

Alors voilà ce que j'ai fait :

Avec le Théorème de Lagrange quel que soit a dans , il vérifie :


a^q est donc racine du polynôme et ce que la première question nous permet d'affirmer c'est qu'il y a un b dans tel que b^q soit racine de .

On a alors un polynôme du second degré, mais je n'arrive pas à aller plus loin. Je n'arrive pas à exploiter ceci pour montrer que -3 est un carré de .

Si b racine de , regarde 2b+1.

Salut,

Si x² + x + 1 = 0 alors 4x² + 4x + 4 = 0 et donc (2x + 1)² = -3, non ?

Cordialement
Frenicle

> Dremi : En plus on n'est que deux à être connectés !

Merci beaucoup à tous les deux (et à Kaiser pour la première question) ,

J'avais essayé de manipuler un peut ce polynôme, mais en oubliant complètement les identités remarquables. Bref, j'étais pas près d'arriver à la solution .

Merci encore, et à bientôt

Pour ma part, je t'en prie !

Pour la réciproque, elle est vraie: si p premier est de la forme 3q+2, alors -3 n'est pas un carré de Fp.
Mais quelle est l'astuce pour le prouver élémentairement sans faire appel à la loi de réciprocité quadratique de Gauss?

Bonsoir Dremi

Pour la réciproque, cela revient à montrer que si -3 est un carré alors p est de la forme 3q+1.
En fait, il suffit de reprendre ce qui a été vu précédemment : si -3 est un carré alors le polynôme x²+x+1 est scindé sur le corps en question.
On distingue deux cas :

ainsi, si 1 est racine, alors p=3. mais dans ce cas -3 est bien un carré car il est nul.
Dans le cas p différent de 3,le polynôme 1+x+x² admet une racine différente de 1 donc admet une racine différent de 1.
On en déduit que contient un élément d'ordre 3 pour la loi multiplicative.
Or donc 3 divise p-1 (théorème de Lagrange).
Ainsi p-1=3q, d'où p=3q+1.

Finalement, soit p=3 soit p est de la forme 3q+1.
Bref, la réciproque est quasiment vraie !

Kaiser

Parfait Kaiser. Merci.

Je t'en prie !
il y a cependant encore un cas à éliminer, p=2.
2 est de la forme 3q+2 mais -3=1 est bien un carré dans ce cas.

Kaiser

Salut ,

Après avoir cherché un peu la réciproque, en vain, je m'apprêtais à venir redemander de l'aide, mais je vois que vous avez déjà "anéhanti" cette réciproque . Si je peux juste me permettre d'ajouter ma pierre, ou plutôt mon cailloux , à l'édifice :

Lorsque l'on tente de factoriser le polynôme x²+x+1, comme l'a fait frenicle dans son message, on fait apparaitre 2x+1 et (il me semble en tout cas) la démonstration de Kaiser est juste à condition d'être sûr que tout élément de Fp puisse s'écrire sous la forme 2x+1, ie que l'application t->2t+1 soit bijective, ce qui ne pose pas de problème si p premier > 2 car alors 2 est inversible, mais explique que l'on doive, comme l'a fait Kaiser, traiter à part le cas F2.

Un grand merci à vous tous sans qui je n'aurais pas été très loin dans l'exercice .

A bientôt