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carre negatif dans Mn(R)
Bonjour
Dans un exo ou on cherche la solution de A^2=-I_n dans Mn(R) , le corrige propose d'ecrire la matrice de l'endo f canoniquement associe a A dans la base (x_1, f(x_1),.....,x_p, f(x_p)) ou n=2p , je remarque en effet que ca marche et qu'on trouve que A est semblable a une certaine matrice , mais je me demande comment on pourrait avoir l'idee de penser a cette base ? car pour ma part j'etais totalement a cote de la plaque dans ma recherche de la solution.
merci
salut
l'idée vient de l'expérience et d'un peu de réflexion ...
si A^2 = -I alors son polynome minimal est x^2 + 1 = 0 dont les racines sont les complexes i et -i (ce qui équivaut à tourner d'un quart de tour)
donc on se dit que tout sous-espace stable est de dimension 2 et engendré par un couple(x, f(x)) (x non nul bien sûr) ... car deux quarts de tour donne un demi-tour donc l'opposé ...
tu peux vérifier que tout tel couple est libre
et cela impose donc que n est pair ...
ensuite par restriction à un sous-espace de dimension deux (de base (u, f(u))) on voit très vite que le carré de la matrice
0 -1
1 0
est l'opposé de l'identité ...
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