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carrés d entiers
Bonjour à tous, j'ai un problème avec un exercice à prise d'initiative.J'ai tenté quelques trucs mais je ne trouve ce dont j'ai besoin.
Voici l'énoncé : "Si on fait le produit de deux entiers qui s'écrivent chacun comme somme de carrés de deux entiers, obtient-on un entier qui s'écrit comme somme de carrés de deux entiers?"
La réponse est oui d'après mes conjectures ( j'ai pris des nombres ).J'ai posé deux entiers M et N tels que M=a^2+b^2 et N=c^2+d^2 j'ai fait le produit je tombe sur MN=a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2.
J'ai essayé de factoriser par a^2 et b^2 et de manipuler cette factorisation mais rien ne me va pour arriver à la réponse finale.J'ai même essayé d'élever MN au carré puis d'en prendre la racine mais cela ne m'avance pas non plus.
J'espère que quelqu'un pourra m'aider.merci d'avance
bonjour zouzou7
je vais faire appel à des connaissances en géométrie pour répondre à une question d'arithmétique.
si N=a²+b² et M=c²+d²
la question est: N.M est-il la somme de deux carré?
considérez les vecteurs u=(a,b) et v=(c,d) dans un reprère orthonormé .
N=||u||²=a²+b² et M=||v||²=c²+d²
on sait que cos(u,v)=u.v/||u||.||v|| ; u.v étant le produit scalaire
et sin(u,v)=det(u,v)/||u||.||v||
comme cos²(u,v)+sin²(u,v)=1
donc
((u.v)/||u||.||v|| )² + ((det(u,v)/||u||.||v||)²=1
(u.v)²+(det(u,v))²=||u||².||v||²
COMME u.v=ac+bd et det(u,v)=ad-bc
donc
(ac+bd)²+(ad-bc)²=(a²+b²)(c²+d²)
cad : N.M=(ac+bd)²+(ad-bc)²
c'est la réponse à votre question N.M est bien la somme de deux carrés d'entiers.
Cette relation est célèbre et porte un nom dont je me rarappelle pas.
voila bon courage.
En fait en m'y repenchant dessus je viens de trouver une réponse encore plus simple.Merci quand même
En fait en m'y repenchant dessus je viens de trouver une réponse encore plus simple.Merci quand même
tu écris :
N = (x²+y²)(z²+t²) = x²z²+x²t²+y²z²+y²t² = (x²z²+y²t²)+(x²t²+y²z²)
N= (x²z²+y²t²+2xyzt)+(x²t²+y²z²-2xyzt) = (xz+yt)²+(xt-yz)²
N = (x²+y²)(z²+t²) = (xz+yt)²+(xt-yz)²
C.Q.F.D ou Q.E.D comme tu veux !
Philoux
Formule de Fibonacci (1202) ou, plus récemment, de Lagrange - qui s'est plutôt intéressé aux sommes de quatre carrés, entre autres.
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