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Centre d'un tétraèdre
Bonjour,
J'aimerais résoudre ce problème, mais je n'ai aucune piste pour commencer...
Soit ABCD un tétraèdre régulier d'arête a.
Montrer que le centre O du tétraèdre est le milieu de [IJ] où I et J sont les milieux de [AB] et [CD].
En vous remerciant pour votre aide,
blabla23
Ah !
Quelle définition prendre du centre dans ce cas ?
Comme le tétraèdre est régulier on peut dire qu'il s'agit du centre commun des sphères circonscrite et inscrite au tétraèdre.
Est-ce correct ?
Sinon précise la définition de centre.
Tous les tétraèdres réguliers sont semblables. ( À démontrer, éventuellement )
On se place dans un repère orthonormal et on considère le tétraèdre régulier
A(1;1;1), B(1;-1;-1), C(-1;1;-1), D(-1,-1,1).
La démonstration est alors facile.
salut
C'est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre
le centre est l'intersection des plans médiateurs de ces cordes
or le tétraèdre est régulier donc le plan médiateur (P) par exemple de la corde [AB] passe par les points C, D et le milieu I du segment [AB]
de même le plan médiateur (Q) de la corde [CD] est le plan (ABJ) où J est le milieu du segment [CD]
or I appartient à (Q) et J appartient à (I)
de la régularité du tétraèdre on en déduit que le centre de celui-ci est le milieu du segment [IJ]
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