Oui au fait, ce titre c'est parce que les bissectrices des quatres angles d'un quadrilatère convexe sont concourantes si et seulement si il existe un cercle inscrit dans ce quadrilatère.

Soit un quadrilatère ABCD tel que AB+CD=AD+BC
Parmi les cercles tangents à AB et AD (dont les centres sont alignés sur la bissectice de l'angle A), il existe un cercle tangent à BC et un cercle tangent à CD. S'ils n'étaient pas confondus, un des deux cercles, par exemple celui tangent à BC, n'aurait pas d'intersection avec CD (sinon, l'inverse). Soient E F G les points de contact du cercle avec AD, AB, BC; les secondes tangentes à ce cercle menées de C et D, CI et DJ seraient sécantes entre C et I et D et J, ce qui veut dire que CI+DJ>CD
Mais CI=CG, DJ=DE, et comme AE=AF et BF=BG on en déduit CD=CI+CJ d'ù contradiction; les deux cercles tangents à BC et CD sont donc confondus