Bonjour. Je vois deux choses qui ne vont pas:
1) Tu parles de cercle extérieur à la parabole tangent à celle-ci et à l'axe des abscisses.???
2) Ton cercle est tangent en (x0,0) mais tu cherches l'abscisse x0 du centre du cercle. x0 est connu ou recherché. Et rien ne dit que le centre du cercle à la même abscisse que le point tangent (ce n'est d'ailleurs pas vraie en général...)
Merci de recopier exactement l'énoncé.

Bonjour
données p = h/c
(vu que le problème ne dépend pas de h et c individuellement mais uniquement de leur rapport h/c, il ne tient pas debout de prendre comme données h et c individuellement)
et r

et on cherche A et x₀ tous deux inconnus

une piste :
on peut obtenir l'équation de la tangente en A en fonction de xA inconnu
et l'intersection I de cette tangente avec l'axe, toujours en fonction de xA
puis le point de contact X₀ par IX₀ = IA, donc toujours en fonction de xA
et donc le centre du cercle comme intersection de la normale en A et de la perpendiculaire à l'axe en X₀
et donc le rayon en fonction de xA



il reste "juste" à résoudre R(xA) =r ...

Une autre piste :

on détermine le lieu des points à distance r de la parabole :
c'est à dire les points à distance r de M sur la normale en M, en fonction de M (de yM = t)
x_N(t) et y_N(t)



et on résout y_N(t) = r etc

additif :
je ne pense pas qu'on puisse éviter une équation (irréductible) de degré 4 ...

on peut se demander d'où peut bien sortir cette question
énoncé complet mot à mot depuis le premier mot ? et pas un extrait raconté à ta sauce...

Merci pour ces premières pistes et cette dernière représentation graphique.
Concrètement, la situation correspond bien à une roue de rayon (r) qui roule de gauche à droite et qui vient buter contre une structure solide (définie dans les (x,y)>0 par une équation type conique ou polynomiale) qui modélise et représente le bord d'attaque d'un ralentisseur casse-vitesse appelé dos d'âne (bump en anglais).

Le problème consiste à déterminer la position (=l'abscisse x0, car l'ordonnée est connue et égale à r) du centre du cercle (la roue) lorsque celui-ci est tangent à l'axe des x (le sol) et tangent à la parabole (le casse-vitesse).

Ceci permettra d'en déduire la position de la roue (pour la représentation graphique) et les coordonnées du point A (xA, yA) de tangence avec le ralentisseur en fonction des paramètres physiques:
- r = rayon de la roue. <=>Intuitivement et comme indiqué précédemment, plus la roue est petite (versus grande = roue de camion), plus le point de contact est proche (versus éloigné) du sommet de la parabole.
- h et c, qui déterminent l'ouverture de la parabole <=> p défini comme h/c peut parfaitement convenir dans la suite, sachant que h correspondant à la hauteur du ralentisseur (nadir, suivant l'axe y), et c à sa longueur totale (à franchir, suivant l'axe x, sachant que les flancs montant et descendant sont définis sur la longueur c/2].
=> étude du rebond de la roue.

Je cherche donc x0 et xA en fonction de r et h et c, le problème étant déjà résolu pour un ralentisseur de profil arrondi (segment circulaire) ou rampe (triangle isocèle). Merciiii

OK,
comme de nombreux "problèmes pratiques" ici je ne pense pas qu'une résolution numérique soit évitable (les solution algébriques d'une équation de degré 4 sont inutilisables en pratique)

c'est comme ça que j'ai fait la dernière figure, c'est Géogébra qui s'est chargé des calculs = résolution de l'équation de degré 4

ma dernière piste est donc parfaitement applicable
pour m'éviter des galères de calcul (je n'aime pas ça) je me suis aidé du site qui donne directement l'équation paramétrique du lieu de N {xN(t), yN(t)} dans le cas général
mathcurve.com

on pourrait donc appliquer ça à d'autres formes coniques (arc d'ellipse) ou autres.
obtenir l'équation de degré 4 à résoudre en partant de cette équation générale prend une demi page environ.,
à partir d'une équation paramétrique de la parabole {x = t²/(2p), y = t}

ben oui...voilà. Je l'avais fait numériquement pour la parabole, la sinusoïde et l'harmonique, alors que j'avais la bonne expression pour l'arrondi et le plan.
Insatisfait et têtu de base, j'ai bien besoin de l'expression math. des coord. de A(xA, yA=f(xA)) en fonction de r et p, car ces valeurs sont:
- xA => l'éloignement du pt de tangence par rapport à l'origine ou sa proximité avec le milieu du ralentisseur, qui traduit le temps pendant lequel la roue doit encore rouler et monter avant de franchir l'obstacle (= tps d'influence; plus r >> alors plus tps <<; à la limite, r infini =>tps zéro !).

- yA => la hauteur sur laquelle vient buter le pneu lors du premier contact avec le ralentisseur et, de là, 1/_la notion de choc-impact initial et 2/_la hauteur qu'il faut encore gravir pour passer l'obstacle, puisque le ralentisseur est de hauteur maximale h en x=c/2.

L'idée d'écrire l'équation de la courbe bleue (lieu pts N) est séduisant car l'intersection avec la droite y=cste=r donne le x0. C'est pas une parabole aussi  du genre y²=g(x)? dans laquelle on remplace y par r pour ensuite déduire x0=h(r).

Que 1/2 page, dirai-je ?! Alors ça doit être encore suffisamment simple non? Tu aurais ces équations? degré 4... là je n'y suis plus...

Merciiii  

voir le site mathcurve cité
on part de l'équation paramétrique de la parabole
x = t²/(2p)
y = t
on calcule un vecteur normal unitaire :


l'équation paramétrique de la courbe à distance R est donc


ce n'est pas une parabole du tout.

l'équation à résoudre en l'inconnue t est donc


il n'y a que à développer pour obtenir cette fameuse équation de degré 4 (après élimination du radical)
à titre indicatif j'obtiens (vérifier par soi-même) :



la solution qui satisfait à la condition de signe avant élimination du radical est la seule à retenir.
on reporte cette valeur (numérique) t₀ dans x₀ = X(t₀)
et dans xA = t₀/(2p), yA = t₀ (équation paramétrique de la parabole)

comme déja dit il y a peu d'espoir d'avoir une expression, algébrique littérale utilisable du résultat en fonction de p et R ! (équation de degré 4)
à titre indicatif avec p = 3 et R = 7 la solution "exacte" est, selon Wolfram alpha :

on n'essaiera même pas d'écrire "ça" en littéral avec R et p !!

ouiii-merci-merci
je trouve bien l'équation de degré 4 en t identique à la tienne, et avec les valeurs:
- r = rayon de la roue du véhicule = 25,4cm
- h = hauteur du ralentisseur = 14cm
- c = longueur au sol du ralentisseur = 50cm
on déduit x=t²/(2p)    => p =14*14/(2*25) = 3.92
j'ai : t⁴ - 50.8t³ + 15.36t² - 780.61t + 9913.79 = 0
que je propose numériquement à Wolfram apha (merci pour le lien), pour trouver  t0 = 5.1659  (1 des 4 solutions).
En cm, cela correspond à yA = la hauteur par rapport au sol du point de contact de la roue avec le ralentisseur, puis on trouve xA = 3.4039cm   ...ce qui correspond aux valeurs trouvées par mon tableur il y a 2 sem ;- ) )

Sur base de ce raisonnement je devrais pouvoir trouver les solutions correspondantes aux profils de ralentisseur suivants:
f1 = (h/2)*

oups...parti trop vite:

harmonique: f1 = (h/2)*(1 - cos(PI*x/(c/2)) )
et sinusoïdal: f2 = h*sin(PI*x/c)

De la sorte, on pourra étudier les variations de (xA, yA) pour les différents profil de ralentisseurs, aux caractéristiques géométriques (forme, hauteur, longueur) variables, et comparer d'un à l'autre les effets non linéaires engendrés par la variation de forme.

Géant. Merci encore.