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cercle trigonométrique

Posté par
Azerty43690
20-11-20 à 15:29

Bonjour,
je vous contacte car je ne trouve pas de pistes à cette exercice.
Merci d'avance
Soit un réel x de l'intervalle [0 ;  π/2  ] et M son point image sur le cercle trigonométrique.



Déterminer au millième près le réel x tel que l'aire du triangle OMC soit égale à quatre fois celle du triangle MCA.

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 20-11-20 à 15:34

Voilà le schéma

cercle trigonométrique

**figure redimensionnée**

Posté par
LeHibou
re : cercle trigonométrique 20-11-20 à 15:42

Bonjour,

Exprime en fonction de x :
OC, CM, la surface de OMC
CA, CM (déjà vu), la surface de AMC
Exprime le rapport 4 entre les deux surfaces

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 20-11-20 à 19:07

MC=√2/2
OC=√2/2
Aire OMC=(√2/2)*(√2/2)/2=1/16

CA=1-√2/2
CM=√2/2
Aire AMC=(1-√2/2)*(√2/2)/2= (-1+√2)/8

Rapport: (1/16)/((-1+√2)/8)=(1+√2)/2

Posté par
LeHibou
re : cercle trigonométrique 20-11-20 à 19:36

Le x est absent de tes calculs, tu t'en es tenu à la figure où x semble avoir la valeur /4, mais c'est seulement une impression...
Comment veux-tu chercher une valeur de x qui assure une certaine condition si x est absent de tes calculs ?

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 21-11-20 à 09:17

MC=sin(x)
OC=cos(x)
Aire OMC=sin(x)*cos(x)/2

CA=1-cos(x)
CM=sin(x)
Aire AMC=(1-cos(x))*sin(x)/2

rapport: [sin(x)*cos(x)/2] / [(1-cos(x))*sin(x)/2]

Je ne sais pas si c'est comme ça, les calculs me paraissent faux.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 21-11-20 à 09:38

Bonjour,
Je réponds en l'absence de LeHibou :
Pourquoi tes calculs seraient-ils faux ?
Plutôt qu'un quotient, écrit l'égalité qui traduit ceci :
"'aire du triangle OMC égale à quatre fois celle du triangle MCA"

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 21-11-20 à 12:30

* Modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *

Posté par
ZEDMAT
re : cercle trigonométrique 21-11-20 à 15:48

Bonjour

aire OCM= (aire AMC)*4
ou
aire OCM/ aire AMC = 4

d'après ton message de 9h17
aire OCM =sin(x)*cos(x)/2
et
aire AMC=(1-cos(x))*sin(x)/2

donc en simplifiant le rapport, tu vas aboutir à cos x = un nombre.

Ta calculatrice va te permettre de trouver x connaissant cos x (fonction Acs).

Essaye , tu es presque au but

Le site ne permet pas la mise en ligne de solutions scannées... voilà pourquoi ton dernier message a été supprimé.

Posté par
ZEDMAT
re : cercle trigonométrique 21-11-20 à 15:56

En utilisant l'assistant Latex, on peut obtenir ceci.... mais cela demande un peu d'entrainement

\frac{\frac{1}{2}*sin(x)*cos(x)}{\frac{1}{2}*sin(x)*(1-cos(x))}=4 \\\\ \frac{cos(x)}{1-cox(x)} = 4

je te laisse terminer jusqu'à cos(x) = nombre.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 21-11-20 à 16:12

@ZEDMAT,
En faisant le quotient on perd une solution.
Avec l'intervalle fermé en 0, il y a en fait deux solutions.
Mais l'énoncé a peut-être été mal recopié pour l'intervalle.

Posté par
ZEDMAT
re : cercle trigonométrique 21-11-20 à 16:49



Quand j'ai simplifié le quotient par sin(x), je me suis dit : si sin(x) 0 mais je ne l'ai pas écrit.... et n'en ai pas tenu compte ensuite !

Merci pour ta vigilance Sylvieg.

J'espère que Azerty43690 va revenir. Elle avait peut-être bien fait.... elle, sur son brouillon.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 21-11-20 à 16:53

De toutes façons, il n'est pas bienvenu de lui apporter de l'aide tant qu'il n'a pas levé son avertissement.

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 09:02

Rebonjour, excusez-moi du papier scané.
Voilà ce que j'ai fait:

Aire OMC=sin(x)*cos(x)/2
Aire AMC=(1-cos(x))*sin(x)/2

J'ai écrit cette équation:
sin(x)*cos(x)/2 = 4*(1-cos(x))*sin(x)/2
--> cos(x)*sin(x) = 4*sin(x)-2*sin(x)*cos(x)
--> 3*sin(x)*cos(x) - 4 sin(x) =0
--> on factorise:
--> sin(x)*(3*cos(x)-4) = 0
--> sin(x)= 0      ou         3*cos(x)-4 = 0
--> x = 0               ou         3*cos(x) = 4
--> x = 0               ou          cos(x) = 4/3
--> x = 0               ou          Arcos (x) = Impossible ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 09:46

Rebonjour,
Cette ligne là est fausse :
cos(x)*sin(x) = 4*sin(x)-2*sin(x)*cos(x)

Posté par
ZEDMAT
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 09:47

Il y a un problème dans ton calcul

Citation :
sin(x)*cos(x)/2 = 4*(1-cos(x))*sin(x)/2
--> cos(x)*sin(x) = 4*sin(x)-2*sin(x)*cos(x)
--> 3*sin(x)*cos(x) - 4 sin(x) =0

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 10:18

Plutôt comme ça alors:
sin(x)*cos(x)/2 = 4*(1-cos(x))*sin(x)/2
-->sin(x)*cos(x) = 8*(1-cos(x))*sin(x)/2 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 10:25

Pourquoi pas. Mais il est plus logique de commencer par simplifier par 2 la fraction de droite :

\dfrac{4(1-cos(x))sin(x)}{2}

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 10:45

sin(x)*cos(x)/2 = 4*(1-cos(x))*sin(x)/2
-->sin(x)*cos(x)/2 = 2*(1-cos(x))*sin(x)
-->sin(x)*cos(x)/2 = 2-2*cos(x)*sin(x)
-->sin(x)*cos(x) = 4-2*cos(x)*sin(x)
-->sin(x)*cos(x)/sin(x) = 4-2*cos(x)
-->cos(x) = 4-2*cos(x)
-->cos(x)/2*cos(x) = 4
-->1/2 = 4
J'ai surement dû faire un erreur dans mon calcul

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 10:54

Écris \; sin(x)*cos(x)/2 = 2*(1-cos(x))*sin(x) \; sur une feuille ; tu feras alors sans doute moins d'erreurs pour transformer.
Tu pourras ensuite recopier tes calculs dans un message.
Commence par multiplier par 2 les deux membres de l'égalité.

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 11:04

J'ai une question, il faut multiplier par 2 ces 2 membres (1-cos(x))*sin(x) ou juste (1-cos(x)) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 11:09

Ma phrase est assez claire : "multiplier par 2 les deux membres de l'égalité"
Si \; A = B \; alors \; 2A = 2B .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 11:12

Tu n'a peut-être pas compris ce que veut dire "membre" dans une égalité.
Dans l'égalité \; 3+2 = 5 \; le premier membre est 3+2 et le second membre est 5.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 11:13

Tu n'as

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 13:25

sin(x)*cos(x)/2 = 2*(1-cos(x))*sin(x)
Si on multiplie par 2:
sin(x)*cos(x) = 4-4cos(x)*sin(x)
cos(x) = 4-4cos(x)
5cos(x)=4
cos(x)= 5/4

Est ce bon ?

Posté par
ZEDMAT
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 13:44

Azerty43690 @ 22-11-2020 à 13:25


sin(x)*cos(x)/2 = 2*(1-cos(x))*sin(x)
Si on multiplie par 2:
sin(x)*cos(x) = [4-4cos(x)]*sin(x)
il manque un niveau de parenthèses ; j'ai remis des crochets..
cos(x) = 4-4cos(x)
où est passé le sin(x) ? tu as fait la même erreur que moi en divisant chaque membre par sin(x), sans t'être assuré que sin(x) est différent de 0. Ce faisant, comme dirait à juste titre Silvieg, tu "perd une solution".
5cos(x)=4
cos(x)= 5/4
celle là fait mal


Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 16:24

Oui, Azerty43690 ne maitrise pas les transformations d'égalités en égalités équivalentes.
Pour passer de \; 5cos(x) = 4 \; à \; cos(x) = quelque chose \; on fait la même opération sur les deux membres.
Pour passer de \; 5cos(x) \; à \; cos(x) \; on divise par un réel non nul. Lequel ?
Donc on fait la même chose avec le \; 4 \; du second membre.

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 18:59

Pourquoi l'avoir entre crochets ?
[4-4cos(x)]

Posté par
ZEDMAT
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 19:06

Par ce que :
a-b*c n'est pas égal à (a-b)*c
donc
4-4cos(x)*sin(x) n'est pas égal à [4-4cos(x)]*sin(x)

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 19:19

sin(x)*cos(x)/2 = 2*(1-cos(x))*sin(x)
sin(x)*cos(x) = [4-4cos(x)]*sin(x)
sin(x)*cos(x) = 4*sin(x)-4*cos(x)*sin(x)
sin(x)*cos(x) -4*cos(x)+4*cos(x)*sin(x) =0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 22-11-20 à 19:24

Une coquille : sin(x)*cos(x) -4*sin(x)+4*cos(x)*sin(x) =0

Regroupe sin(x)*cos(x) avec 4*cos(x)*sin(x) ; puis factorise par sin(x).

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 23-11-20 à 09:02

sin(x)*cos(x)/2 = 2*(1-cos(x))*sin(x)
sin(x)*cos(x) = [4-4cos(x)]*sin(x)
sin(x)*cos(x) = 4*sin(x)-4*cos(x)*sin(x)
sin(x)*cos(x) -4*sin(x)+4*cos(x)*sin(x) =0
5*cos(x)*sin(x)-4*sin(x)=0
sin(x)*(5*cos(x)-4)=0
sin(x)=0    ou cos(x)= 4/5

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 23-11-20 à 09:52

Quand tu veux, tu y arrives !
L'intervalle est -il bien [0;/2] ? et pas ]0;/2] ?

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 23-11-20 à 13:22

L'intervalle est bien celui ci [0;/2]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 23-11-20 à 13:30

Donc il y a 2 solutions :
Une avec sin(x) = 0.
L'autre avec cos(x) = 4/5.

Pour la seconde, utilise ta calculatrice pour trouver x au millième près.

Je te propose un prolongement :
Calculer la valeur exacte des aires des 2 triangles.

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 23-11-20 à 14:00

Pour trouver x il faut que je fasse cos 4/5 ?  

Posté par
ZEDMAT
re : cercle trigonométrique 23-11-20 à 14:45

Azerty43690 @ 23-11-2020 à 14:00

Pour trouver x il faut que je fasse cos 4/5 ?  


Non.

Dans ton message d'hier (9h02), tu as fait état de la fonction
Citation :
Arcos (x)
. Donc tu connais.

A toi de l'utiliser correctement (attention au réglage de ta calculatrice pour les unités d'angle)

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 26-11-20 à 16:08

Donc x = arcos 4/5
Donc x = 0,643 radian ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 26-11-20 à 16:11

C'est tout bon comme valeur approchée

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 26-11-20 à 16:50

Merci bien et bonne continuation

Posté par
daviiidd
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 16:07

Bonjour Sylvieg j'ai le même exercices mais il y a un truc que je n'ai pas compris.
Pourquoi ne multiplions pas les 2 membres par 4 étant donné que le sin(x) fait partie de l'aire du triangle MCA?
merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 16:15

Quels 2 membres ?

Posté par
daviiidd
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 16:21

Dans 4 x (1-cos(x)) x sin(x) pourquoi on multiplie seulement  le 1er membre qui est (1-cos(x))  et pas le 2 qui est sin(x), lui aussi fait partie de l'aire non?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 16:32

4(AB) = 4AB = (4A)B = (4B)A

16AB = (4A)(4B)

Posté par
daviiidd
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 16:41

Haa d'accord c'est plus clair maintenant merci beaucooup!!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 17:04

De rien.
N'hésite pas à poser d'autres questions sur cet exercice si tu as d'autres interrogations.

Posté par
mathafou Moderateur
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 18:30

Bonjour,

je brûle de le dire depuis le début :
pourquoi ne fait on pas les simplifications directement dès le départ avec OA écrit OA, OC écrit OC, AC écrit AC et MC écrit MC ...

1/2 OC*CM = 4 * 1/2 AC*CM
MC = 0 étant à éliminer car sans aucun intérêt : il ne s'agit plus de triangles !
il est d'ailleurs rejeté implicitement dans l'énoncé qui demande LA valeur et pas les valeurs (sous entendu la seule valeur "intéressante")

il reste immédiatement OC = 4 AC
(les aires de deux triangles de même hauteur sont dans le rapport des bases)
soit tout de suite parce que on sait bien calculer avec des fractions et proportions :
OC = 4/5 OA
bien avant de dire que c'est des sinus et des cosinus.

et donc de suite cos(x) = 4/5

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 18:41

Bonsoir mathafou,
Nous nous sommes mis à trois pour ne pas voir cette évidence
La brulure t'a sans doute pas mal démangé...

Ton "de suite" ne me semble pas immédiat pour les demandeurs.

PS Je déteste les énoncés implicites. Ce n'est pas difficile d'ouvrir l'intervalle en 0.

Posté par
Azerty43690
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 18:59

Vous êtes sûre qu'il faut trouver x avec arcos ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : cercle trigonométrique 27-11-20 à 19:05

je suppose que ta réticence à mes "tout de suite" concerne

Citation :
soit tout de suite parce que on sait bien calculer avec des fractions et proportions :
OC = 4/5 OA
sinon :
de OC = 4 AC on écrit sans parler de cosinus pour l'instant
OC = 4(OA - OC) = 4OA - 4OC
5OC = 4 OA
OC = 4/5 OA
mon intervention parlait surtout de faire les simplifications avant de dire que OC = cos(x)
les détails de calculs étant bien entendu fonction de chacun (une ligne, ou bien les 3 lignes ci dessus)

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