salut

je ne comprends pas trop ce que tu fais ... et comment est créé le point F ...

ce qui est certain c'est que la perpendiculaire d à D passant par le centre du cercle C est axe de symétrie (et on sait construire le centre du cercle)

si d coupe C en les points E et F et D en H alors si E est le plus près de D (EH < FH) alors le milieu du segment [EH] est solution

ensuite si M est un centre d'un cerce convenable, N le point de contact des deux cercles et H le projeté orthogonal de M sur D alors on a MH = MN

...

Bonjour,

Cela mérite un petit dessin.

Le cercle donné est de centre .

La droite donnée est .

Bonsoir Nolhados,

Avec mon dessin, je pensais en avoir trop dit.
Je vois qu'il n'en est rien .
Examine le avec attention : la solution de ton problème y est

Bonjour
encore faut-il que Nolhados connaisse la définition par directrice et foyer des paraboles, ce qui n'a pas l'air d'être le cas ?

Bonsoir lafol,

Effectivement, je n'avais pas envisagé cette éventualité

Mais tout de même, comme l'exercice est présenté :

  

il y a ce que le prof a enseigné, et ce que l'étudiant en a retenu ... en ces temps de cours à distance, la marge peut être encore plus importante que d'habitude

Bien sûr.
Mais posons lui la question :

>> Nohados ,

Si tu repasses par ici : connais-tu la définition d'une parabole par foyer et directrice ?

>> Nolhados, désolé

Bonsoir lafol et lake. Le problème se retrouve à la fin d'un chapitre de cours présentant les étapes à suivre pour résoudre un problème n'ayant pas de méthode de résolution générale apparente. Les problèmes dans ce module ne font pas suite à des cours spécifiques sur les notions mais s'appuient, je pense, sur le fait qu'on  ait déjà eu des notions pour les résoudre.


Revenant à l'exercice, j'ai revu la figure de Lake et je retrouve effectivement que ma solution y est: C'est la parabole.  Je vois bien que le point fixe F est le centre du cercle donné alors que je parlais moi plutôt d'un point qui varie en l'appelant "point fixe".
J'espère que j'ai bien vu.

J'aimerais aussi savoir de quoi vous parliez à propos de foyer de parabole. J'en vois que dans des parties de cours concernant les ellipses.

Bon, j'ai tout faux.

On se dirige donc vers une solution analytique.
Ce soir, c'est cuit : il faut que je dorme. Mais :

  sont en jeu un cercle et une droite. Il va falloir choisir un repère qui nous facilite la vie pour les calculs à venir.

Bonne nuit et à  demain

Ah!
Ne suis-je pas tout de même sur la voie avec ma proposition ? Je pense que j'ai juste eu un problème avec la définition du point F dans la mise en forme de ma solution à la fin.
Enfin...c'est ce que je pense
Bonne nuit
À demain donc

Cet ensemble ne me laissait pas tranquille :

Il est constitué de deux paraboles:



Maintenant, c'est sûr : je peux dormir tranquille

connaitre ou non les notions de foyer et directrice n'est pas le pb ici ...

Nolhados est arrivé à voir et déterminer l'ensemble des solutions : une parabole et même à en donner l'équation ...

ce qui n'est pas clair c'est son point F qu'il considère comme fixe ... ce qu'il reprécise à 23h05 : en fait il cherche un cercle tangent à D et à C en un point F quelconque de C : la méthodologie par tâtonnement est convenable

par contre avec la dernière figure de lake effectivement on voit qu'il y a deux cas : le cercle est tangent extérieurement ou intérieurement au cercle C

pour la suite en prenant un bon repère orthonormé : la droite D pour axe des abscisses et sa perpendiculaire passant par le centre du cercle C le pb ne devient que du calcul analytique ...

sur le dernier graphique de lake on voit qu'il faudra considérer les translatés de D de vecteur orthogonal à D et de longueur le rayon du cercle ....

Bonjour,

Je ne pense pas que les calculs de soient corrects :

   A aucun moment, on ne voit apparaître le rayon du cercle fixe.

   Et puis, il conjecture que le lieu est une ? parabole.

On peut faire un calcul sans s'occuper de la figure :

  Si est le projeté orthogonal de sur (axe des abscisses), et le centre et le rayon du cercle donné, on a :

    

Avec , continuer dans cette voie permet d'aboutir (avec des discussions selon que , ou ).

oui  lake je faisais seulement des remarques d'ordre général et je suis bien d'accord avec toi ...

en particulier pour le rayon du cercle qui doit apparaitre dans un travail analytique et la discussion nécessaire d'existence ...

Bonjour,

"Je ne pense pas que les calculs de Nolhados soient corrects "

ils sont faux par principe dès le départ (raison pour laquelle ni le rayon du cercle (C) ni son centre n'interviennent dans son résultat) :

Soit un point fixe F de (C) déja là c'est faux.
ce qui est alors cherché c'est les cercles passant par ce point F fixé et tangents à (D) un point c'est tout.
et il n'y a absolument aucune raison que les cercles obtenus soient tangents à (C) !!

oui mais je pense que Nolhados voulait dire "tangent en F" plutôt que passant !!

c'est ainsi que j'ai pensé ce que j'ai lu !!

mais tu as tout à fait raison !!!

beaucoup trop d'imprécisions dans son discours ....

si F est fixe il ne va y avoir qu'un seul cercle tangent à (C) en F et à (D) (deux en fait, selon qu'il est tangent intérieurement ou extérieurement) et c'est tout, il n'y a aucun "lieu" de quoi que ce soit.
et il calcule effectivement ensuite le lieu des cercles passant par F et pas tangents à (C) (en rouge sur cette figure)
((C) ne sert à rien et n'apparaît nulle part dans ses calculs !)



les deux seuls cercles tangents à (C) en F et à (D), F fixé sur (C) , sont les cercles verts fixes et uniques
(et leur construction en pointillé)

et si F est le point de contact d'un cercle tangent variable , il n'est pas fixé et ne peut pas être utilisé pour définir un repère fixe comme il le fait
dans lequel la droite donnée et le cercle donné seraient fixes, seul repère dans lequel on peut parler du lieu des centres M (de ceux vraiment cherchés, des cercles tangents à (C) et à (D), en des points évidemment variables de (C) !)

mais arrêtons de discuter d'avantage sur cette méthode fausse et ces calculs faux de Nolhados
c'était juste pour lui expliquer pourquoi ses calculs étaient faux
j'arrête là mon intervention

les vrais sont ceux proposés par les autres intervenants. faisant intervenir la distance de M au centre du cercle donné.

à faire en détail par Nolhados.

bonjour,
je pense qu'il faut aider Nolhados en reprenant ses calculs et simplifier son raisonnement.
d'abord dans ce premier cas de figure où la droite ne coupe pas le cercle , on traite le cas où les cercles à déterminer sont tangents extérieurement au cercle initial.
H le projeté orthogonal de F sur la droite(D)
(D) pris pour support de l'axe des x et FH pour support de l'axe des ordonnées orienté selon ainsi F(0,d) d>0 et d>R

Etant donnée la propriété de symétrie Si l'on admet que le lieu est une parabole (Comment sait-il cela ?) alors son équation s'écrit plus simplement Y=aX²+c
On a 2 paramètres inconnus, il est évident que c n'est pas égal à d/2 comme il l'écrit  mais c=(d-R)/2
ensuite pour avoir le 2ème paramètre, il suffit de trouver une position simple pour un 2ème cercle candidat.
Je propose un cercle dont le point de tangence T avec (C) est tel que (TF)//(D) les calculs sont faciles pour déterminer a , ce cercle a pour centre un point de coordonnées (x,d) on peut choisir x>0.

après il faut traiter les autre cas de figure de manière tout aussi élémentaire

Bonjour DOMOREA,

  

"en reprenant ses calculs"

NON
ses calculs sont faux dés le départ et il n'y a aucun moyen de les corriger parce que c'est faux dans le principe

"soit F un point fixé de (C)" c'est faux
combien de fois faudra-t-il l'expliquer ...
tout calcul qui part de ça est forcément faux (ne correspond à rien du tout de ce qui est demandé)

en appelant F le centre du cercle (C) donné oui , mais ça n'a plus aucun rapport avec les calculs qu'il avait fait !!

(et puis on se demande bien pourquoi on l'appellerait F ce centre ...
à part pour entretenir la confusion avec le F de Nolhados. ...)

Bonjour à tous!
Merci pour vos apports. Je vois bien qu'avec la dernière figure de lake et son  message de 10h13,  j'aurai à distinguer deux cas où (C) et (D) sont distincts et un cas où ils sont tangents.  Mais je ne peux rédiger sans figure comme il le suggère vu la méthode que j'aurai à adopter.

Bon... Je propose ceci: (Je rappelle que mon discours doit être normalement accompagné de figures mais comme je ne maîtrise pas encore un outil de tracé numérique je vais essayer de me faire clair)

Soient   F le centre de (C) . Cherchons un point M centre d'un cercle tangent à (C) en N et tangent à  (D). Traçons la perpendiculaire en H à (D) passant par M. On remarque que NMH est un triangle isocèle et par conséquent M appartient à la médiatrice du segment [NH]. Ainsi M est l'intersection d'une perpendiculaire en H à (D) et la médiatrice de [NH].

Construisons plusieurs tels points M.  
*On constate que les points M appartiennent à une parabole dont on déterminera la fonction

Or il est possible de tracer un cercle tangent à (C) et (D) tel que (C) soit à l'intérieur de ce cercle.  Essayons de construire un tel cercle. Soit H le point de tangence de ce cercle avec la droite (D) et N le point de tangence avec (C). Nous constatons que NMH est un triangle isocèle en M et par conséquent M appartient à la médiatrice du segment [NH]. Ainsi M est l'intersection d'une perpendiculaire en H à (D) et la médiatrice de [NH]. Construisons ainsi de tels points points M.

*On constate que les points M appartiennent à une parabole différente de la première dont on déterminera la fonction

Déterminons la fonction de la première parabole.
Nous plaçons la première figure dans un repère orthonormé avec (D) comme axe des abscisses et la perpendiculaire à (D) passant par F l'axe des ordonnées.

Soient (0,a) les coordonnées de F. Soit r le rayon de (C).
La fonction est sous la forme f(x)=a'x²+bx+c
Sur la figure on observe f(0)= donc c=
La dérivée de f(x) vaut 2a'x+b. Or f'(0)=0 donc b=0
Cherchons a'
L'équation d'une tangente à la parabole en un point d'abscisse t est: y=2a'x-a't²+.
Or la tangente au point d'abscisse (a+r) a pour équation y=x. Ainsi par identification
2a'(a+r)=1 d'où a'=

La parabole a pour fonction


Déterminons la fonction de la deuxième parabole.
La fonction est sous la forme f(x)=a'x²+bx+c
Sur la figure on observe f(0)= donc c=
La dérivée de f(x) vaut 2a'x+b. Or f'(0)=0 donc b=0
Cherchons a'
L'équation d'une tangente à la parabole en un point d'abscisse t est: y=2a'x-a't²+.
Or la tangente au point d'abscisse (a-r) a pour équation y=x. Ainsi par identification
2a'(a-r)=1 d'où a'=

La parabole a pour fonction


Grâce aux fonctions identifions le cas a=r
Cela se traduit par le fait que (C) et (D) sont tangents et la fonction de la courbe formée par les points M est donc f(x)=

Si (C) et (D) sont distincts, l'ensemble des points M est l'ensemble des courbes représentatives des deux fonctions f₁(x)= et f₂(x)=
Sinon l'ensemble demandé est la courbe représentative de la fonction f(x)=



Voilà ce que j'ai refait. Merci d'avance de vérifier et si possible me proposer des justifications peut-être plus concises pour trouver les fonctions.  Au niveau des tangentes d'équations y=x, je suis passé par des considérations géométriques. Il pourrait y avoir des erreurs.

Bonsoir Nolhados,

Ton travail est méritoire : tes résultats sont partiellement justes.

Mais je te reproche tout de même ceci :

  

Citation :
Grâce aux fonctions identifions le cas a=r
Cela se traduit par le fait que (C) et (D) sont tangents et la fonction de la courbe formée par les points M est donc f(x)=

je ne suis pas tout à fait d'accord : on peut faire une recherche géométrique "par tâtonnement" ou divers essais et constater qu'il semblerait que le lieu des centres des cercles tangents est une parabole (l'union de deux paraboles et d'une droite, ...)

puis ensuite évidemment confirmer ou infirmer cette conjecture par une démonstration analytique ...

Bonjour,
Je réponds à DOMOREA :
Un calcul simple permet de démontrer que les centres M sont sur deux paraboles.
Ci-dessous, le cas où la droite (D) est extérieure au cercle (C) de centre A et de rayon R.

On choisit un repère orthonormé avec
la droite (D) comme axe des abscisses,
l'axe des ordonnées perpendiculaire à (D), passant par A et orienté pour que l'ordonnée du point A soit un réel d positif.

Si M(x; y) est le centre d'un cercle tangent à la droite (D) et extérieurement au cercle (C), alors MA = y + R .
D'où x² + (y-d)² = (y+R)² .
On trouve facilement une relation du type y = ax² + c.

Même genre si le cercle est tangent intérieurement.

Bonsoir carpediem,

Oui, on peut "constater" certaines choses avec GeoGebra.
On peut aussi en oublier la moitié (par exemple l'axe des ordonnées lorsque )

On nous demande un lieu : constater (et vérifier à postériori) ne suffit pas.

pas du tout d'accord sur ça :

lake : disons que l'étude préalable doit effectivement être un peu plus approfondie très certainement :

trois situations pour la droite et et le cercle (de 0 à 2 intersections)
deux situations de tangence : intérieure ou extérieure

ce qui fait à priori six éventualités ...

et pour chacune un/deux schéma/s peut/vent donner une idée du lieu géométrique

mes premières réponses n'ont été données qu'en fonction de celle du posteur sans proposer quoi que ce soit mais juste en relevant des incohérences ou incompréhensions

évidemment après avoir vu la symétrie naturelle au départ et avec le dernier graphique de mathafou il est alors évident que :

1/ le rayon r du cercle intervient : je ne vais certainement pas partir de MN = MH car N est variable et donc que

2/ je vais considérer la relation MF = MH' en introduisant la parallèle à D distante de r

avec le bon repère le "reste" n'est que du calcul ... relativement simple si on s'y prend bien avec méthode et rigueur ...

Bonsoir mathafou
Je comprends le problème. J'ai mal rédigé. "Le point H est tout aussi variable que N" mais dans tous les cas la propriété que j'énonce est vérifiée.
Merci pour la remarque.
La méthode de lake par droite auxiliaire je ne la connaissais pas. Je vais revoir cela un peu plus.



Dommage que lake abandonne le fil mais il m'aura bien aidé.

Je pense que carpediem comprend ma démarche à laquelle je dois me vouer pour cet exercice.
Je n'ai pas été exhaustif dans l'énoncé des cas. Il faut vraiment 6 cas. J'ai évoqué 3. En plus de la précision de lake j'ai maintenant les solutions dans 4 cas(pour a>r et a=r)

Il me reste donc les deux cas de a<r

Pour un cercle recherché tel qu'il soit à l'intérieur de (C) nous aurons deux cercles précisément dont les centres appartiennent à l'axe des ordonnées. Il me faudra les déterminer.
Dans un deuxième temps chercher le lieu des centres des cercles extérieurs à C.

Encore du boulot pour moi. J'espère que j'ai bien saisi la totalité des cas

le seul cas "litigieux" est quand le cercle donné et la droite (D) sont tangents (a = r)
car alors l'axe des ordonnées tout entier est solution
ce que l'on obtient d'ailleurs sans aucune précaution comme équation x² = 0 avec les calculs suivants !

le reste se simplifie grandement après examen des divers cas
(on suppose sans perte de généralité que a >0)
que la droite coupe ou non le cercle n'a aucune importance.
les cas à examiner sont :

y > 0 et cercles tangent extérieurement, distance des centres = somme des rayons y + r
y > 0 et cercles tangent intérieurement, distance des centres = différence des rayons |y - r|
y < 0 et cercles tangent extérieurement, distance des centres = somme des rayons |y|+r = -y + r
y < 0 et cercles tangent intérieurement, distance des centres = différence des rayons
||y|-r| = |-y-r| = |y+r|

et basta des valeurs absolues : elles sont "absorbées" dans le MF²
et comme (-y+r)² = (y-r)² et (y+r)² = (-y-r)², ces cas se "regroupent" par deux
de sorte qu'il n'y a que deux équations à écrire (que deux paraboles entières)

il n'est pas question de les couper en morceaux (ces paraboles) pour distinguer dans quel morceau de parabole on a telle ou telle de ces 4 conditions et avec quel signe : une distance n'a pas de signe.

... et bien sûr ce MF² s'écrit aussi à partir des coordonnées (x; y) de M et (0; a) de F !
c'est ça qui donne directement les équations en deux lignes de calcul.

sans supposer au préalable que ce seraient des paraboles au prétexte que "à l'oeil" ça ressemble à des paraboles, ce qui peut parfaitement être fallacieux !

Merci mathafou pour l'analyse. Vu ainsi, les deux autres cas que j'évoquais dans mon dernier message aboutiront à des portions de paraboles que j'ai déjà si je comprends bien.
J'ai retrouvé les équations en question avec a>0.
Mais j'ai une inquiétude sur le cas a=r. N'y a-t-il que l'axe des ordonnées comme solution? C'est l'impression que votre message me donne..

cas a = r : (droite et cercle donnés tangents en un point T, qui avec les coordonnées naturelles choisies ((D) d'équation y = 0 et cercle centré sur l'axe des ordonnées en F(0; a) ) est l'origine du repère O (0; 0)

il y a toujours deux "branches"
l'axe des ordonnées correspondant aux centres des cercles tangents à la fois à (D) et à (C) en le même point O

et une "parabole" correspondant aux centres des cercles tangents à (D) en un point H ≠ O et au cercle en un point N ≠ O

encore une fois :
j'ai mis "parabole" entre guillemets car ta méthode de chercher les coefficients en supposant au départ que ce serait une parabole ne prouve absolument rien du tout sur la nature de cette courbe !
par quelques points donnés (et même quelques tangentes données) en nombre fini (ceux qui te permettent de calculer les coefficients) il passe une infinité de courbes différentes, dont peut être une parabole ...

avec la bonne méthode (qui n'est pas celle là !!), c'est énormément plus rapide (quelques lignes et qui couvrent directement tous les cas d'un seul coup d'un seul)
et surtout cela ne suppose pas au départ que ce serait peut être des paraboles (on n'en sait rien, c'est juste une conjecture ) : cela le prouve.

la méthode (c'est général quel que soit le domaine) :
j'observe et j'émets une conjecture (H)
je suppose donc (H) vraie (que c'est une parabole)
j'en tire une conséquence (Q) (les coefficients)
donc (H) est vraie

un tel raisonnement est complètement faux d'un point de vue logique

de (H) (Q)
si (Q) vrai ça ne prouve rigoureusement rien du tout sur la véracité ou non de H

Bonjour mathafou
Je comprends mieux ce qui ne va pas dans ma démarche. Merci beaucoup à vous et merci à tous les autres ayant intervenu

Ça faisait un moment que le cas de la droite qui coupe le cercle me turlupinait ...
Sans m'empêcher de dormir tranquille pour autant
Mais en ayant conscience que mon message précédent n'était pas satisfaisant.
Je pense avoir compris le message de mathafou de 22h47 ; et je me permets de le prolonger pour Nolhados :
A centre du cercle fixe (C). R rayon du cercle (C).
M centre du cercle tangent au cercle fixe et à la droite (D).
Le repère a déjà été choisi avec A (0; a) et a > 0.

M(x ; y)
1) Avec les cercles tangent extérieurement : AM = R +|y|
2) Avec les cercles tangent intérieurement : AM = |R -|y||
Équivalent à
1) 2ay + 2R|y| = x² + a² - R²
2) 2ay - 2R|y| = x² + a² - R²
En séparant selon le signe de y :
1)a) y 0 et 2ay + 2Ry = x² + a² - R²
1)b) y 0 et 2ay - 2Ry = x² + a² - R²
2)a) y 0 et 2ay - 2Ry = x² + a² - R²
2)b) y 0 et 2ay + 2Ry = x² + a² - R²

Ce qui se résume par
2ay + 2Ry = x² + a² - R²
ou
2ay - 2Ry = x² + a² - R²

On peut y faire R = a et trouver la réunion d'une droite et une parabole.
Et si R a, on obtient bien deux paraboles.

Une petite réciproque reste peut-être à faire ?

J'ai mis un moment à taper mon message ...
J'espère ne pas avoir fait de doublon, ni d'erreur.

Bonjour Sylvieg,

maintenant que les calculs ont été faits, j'explique ma méthode qui simplifie un peu.

comme deja dit on a 4 cas selon les signes
cela se traduit par les équations non développées (toute l'astuce est là , de ne pas se précipiter sur le développement )

1) (y+r)² = x² + (y-a)²
2) (y - r)² = x² + (y-a)²
3) (-y+r)² = x² + (y-a)²
4) (-y - r)² = x² + (y-a)²

on voit immédiatement (avant développement) que les équations 1 et 4 sont identiques
et que 2 et 3 sont identiques

on n'a donc plus que deux développements à faire et c'est fini.

comme tu le dis une réciproque est nécessaire pour prouver que l'ensemble des paraboles est solution et pas seulement des bouts
ça se fait en remontant les calculs soigneusement
hélas on n'échappe pas alors à une étude de cas ... (un peu pénible)

Je préfère comme ça (mais des goûts et des couleurs...) :
1) AM² = (y+r)² et y 0
2) AM² = (y-r)² et y 0
3) AM² = (y-r)² et y 0
4) AM² = (y+r)² et y 0

PS
je viens de téléverser un fichier Geogebra sur le site de Geogebra :

www.geogebra.org



F (ancien nom de A) et R sont déplaçables permettant en particulier de "voir" ce qu'il se passe quand (D) coupe (C) et pourquoi il faut distinguer le signe de y : des cas où y < 0

la méthode de construction des cercles courants est ici différente de celle de lake et de ses deux droites parallèles

elle est basée sur le tracé de la tangente commune en N pour construire le(s) cercle(s) de la famille tangent(s) en un point N variable de (C)
(N variable dans l'applet)
on lui demande alors gentiment de tracer les lieux de M₁ et de M₂ (en vrac) en mauve et "on observe"

cette méthode, contrairement aux droites de lake, ne permet pas de prouver directement qu'il s'agit de paraboles
mais montre à l'évidence l'existence de deux familles de cercles et surtout évite de se poser trop de questions sur la position de ces "droites de lake" et leur signification diverse selon "les signes"

mon écriture est directement la traduction de AM² = (MN ± AN)²
avec AN = r et MN = |y|

1) AM² = (y+r)² = x² + (y-a)², y>0 et tangents exterieurement, AM = somme des rayons
2) (y - r)² = x² + (y-a)² , y>0 et tangents intérieurement , AM = différence des rayons
3) (-y+r)² = x² + (y-a)², y<0 et tangents exterieurement, AM = somme des rayons, |y| = -y est le rayon de (M)
4) (-y - r)² = x² + (y-a)², y<0 et tangents interieurement, AM = différence des rayons, |y| = -y est le rayon de (M)

mais comme tu dis, des goûts et des couleurs ... (et des fonctionnements différents des cerveaux ... )