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Niveau terminale
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cette fois c est moi qui ai besoin d aide....suite et récurrence

Posté par lolo (invité) 02-03-04 à 12:16

salut
une fois n'est pas coutume (enfin j'espère parce que depuis
que g passé la trentaine je me sens devenir sénile ....yek yek !)

j'ai besoin de qq'un pour un petit truc que j'arrive pas à faire
une terminale à qui je file un coup de main de tps en tps m'a sorti
un pb sur les suites
soit la suite (Un) définie par Un+1=1.8Un(1-Un) et U0=0.3
on a demontré que pour tout n
0 Un 1/2
et on me dit
en utilisant éventuellement un démo par récurrence montrer que Un+1
Un
et bin j'arrive pô
merci énormément à celui qui me permettra de ne pas mourir idiot
bizzzzzzzzz

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : cette fois c est moi qui ai besoin d aide....suite et récur 02-03-04 à 13:24

Vois si cela te convient.

Supposons que Un converge,on a alors lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1) =
L

L = 1,8L.(1-L)
1 = 1,8 - 1,8L
1,8L = 0,8
L = 8/18 = 4/9

Donc si Un converge, c'est vers 4/9

supposons Un < 4/9

f(x) = 1,8x.(1-x)

g(x) = f(x)/x = 1,8.(1-x)
g'(x) = -1,8 et donc g(x) est décroissante.
g(4/9) = 1,8(1 - (4/9))
g(4/9) = 1

et donc g(x) >= 1 pour x dans ]0 ; 4/9[
f(x)/x >= 1 pour x dans ]0 ; 4/9[
f(x) >= x pour x dans ]0 ; 4/9[

avec x = Un, il vient:
f(Un) >= Un pour x dans ]0 ; 4/9[
1,8Un.(1-Un) >= Un pour Un dans ]0 ; 4/9[
U(n+1) >= Un pour Un dans ]0 ; 4/9[    (1)
-----
supposons 4/9 < Un <= 0,5
g(x) = f(x)/x = 1,8.(1-x)
g'(x) = -1,8 et donc g(x) est décroissante.
g(4/9) = 1,8(1 - (4/9))
g(4/9) = 1
g(0,5) = 0,9

et donc 0,9 <= g(x) < 1 pour x dans ]4/9 ; 0,5]
et donc 0,9 <= f(x)/x < 1 pour x dans ]4/9 ; 0,5]

avec x = Un, il vient:
0,9 <= f(Un)/Un < 1 pour x dans ]4/9 ; 0,5]
0,9 <= U(n+1)/Un < 1 pour x dans ]4/9 ; 0,5]
U(n+1) < Un pour x dans ]4/9 ; 0,5]   (2)
-----
Sauf distraction.  

Posté par lolo (invité)merci JP 02-03-04 à 20:03

ok merci JP
j'étais arrivé à la mm chose par d'autres moyens mais tout pareil au
final.
par contre ce qui est étrange c'est que l'ennoncé précise bien
montrer que Un+1>Un à priori pour tout n (ou Un)
or ce n'est pas le cas puisque dans
]4/9;0.5]     Un+1<Un donc je pense que y'a un os dans l'ennoncé
ouf apparemment donc la sénilité ne me guette pas encore
merci qd mm de t'être penché la dessus
bye bye

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : cette fois c est moi qui ai besoin d aide....suite et récur 03-03-04 à 08:59

L'énoncé est quant même juste, car il impose Uo = 0,3.
Et dans ce cas, la suite tends vers 4/9 sans jamais le dépasser.

On n'est donc jamais dans le cas Un > 4/9 et dans le cadre strict
de l'exercice on a bien U(n+1)<Un pour tout n de N



Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : cette fois c est moi qui ai besoin d aide....suite et récur 03-03-04 à 09:01

Zut la fin de ma réponse précédente s'est perdue, lire:

On n'est donc jamais dans le cas Un > 4/9 et dans le cadre strict
de l'exercice on a bien U(n+1) > Un  pour tout n de N






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