Vois si cela te convient.

Supposons que Un converge,on a alors lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1) =
L

L = 1,8L.(1-L)
1 = 1,8 - 1,8L
1,8L = 0,8
L = 8/18 = 4/9

Donc si Un converge, c'est vers 4/9

supposons Un < 4/9

f(x) = 1,8x.(1-x)

g(x) = f(x)/x = 1,8.(1-x)
g'(x) = -1,8 et donc g(x) est décroissante.
g(4/9) = 1,8(1 - (4/9))
g(4/9) = 1

et donc g(x) >= 1 pour x dans ]0 ; 4/9[
f(x)/x >= 1 pour x dans ]0 ; 4/9[
f(x) >= x pour x dans ]0 ; 4/9[

avec x = Un, il vient:
f(Un) >= Un pour x dans ]0 ; 4/9[
1,8Un.(1-Un) >= Un pour Un dans ]0 ; 4/9[
U(n+1) >= Un pour Un dans ]0 ; 4/9[    (1)
-----
supposons 4/9 < Un <= 0,5
g(x) = f(x)/x = 1,8.(1-x)
g'(x) = -1,8 et donc g(x) est décroissante.
g(4/9) = 1,8(1 - (4/9))
g(4/9) = 1
g(0,5) = 0,9

et donc 0,9 <= g(x) < 1 pour x dans ]4/9 ; 0,5]
et donc 0,9 <= f(x)/x < 1 pour x dans ]4/9 ; 0,5]

avec x = Un, il vient:
0,9 <= f(Un)/Un < 1 pour x dans ]4/9 ; 0,5]
0,9 <= U(n+1)/Un < 1 pour x dans ]4/9 ; 0,5]
U(n+1) < Un pour x dans ]4/9 ; 0,5]   (2)
-----
Sauf distraction.  

ok merci JP
j'étais arrivé à la mm chose par d'autres moyens mais tout pareil au
final.
par contre ce qui est étrange c'est que l'ennoncé précise bien
montrer que Un+1>Un à priori pour tout n (ou Un)
or ce n'est pas le cas puisque dans
]4/9;0.5]     Un+1<Un donc je pense que y'a un os dans l'ennoncé
ouf apparemment donc la sénilité ne me guette pas encore
merci qd mm de t'être penché la dessus
bye bye

L'énoncé est quant même juste, car il impose Uo = 0,3.
Et dans ce cas, la suite tends vers 4/9 sans jamais le dépasser.

On n'est donc jamais dans le cas Un > 4/9 et dans le cadre strict
de l'exercice on a bien U(n+1)<Un pour tout n de N

Zut la fin de ma réponse précédente s'est perdue, lire:

On n'est donc jamais dans le cas Un > 4/9 et dans le cadre strict
de l'exercice on a bien U(n+1) > Un  pour tout n de N