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chaine de markov

Posté par
kermite 19-11-07 à 20:51

bonjour à tous ,

j'essaye de demontrer que pour une chaine de markov (X_n)_n de matrice de transition
Q:MM[0,1]

P(X_n=y/X₀=x)=Qⁿ(x,y)

J'essaye de le faire par recurrence, mais je bloque...

J'utilise
Qⁿ⁺¹=(sur zM)Q(x,z)Qⁿ(z,y)

c'est le x et le y qui me genent.

Merci à tous

Posté par re : chaine de markov 19-11-07 à 21:59

$4$P(X_n=y | X_0=x) = \sum_z P(X_n=y \cap X_{n-1}=z | X_0=x)$

Or
$4$P(X_n=y \cap X_{n-1}=z | X_0=x)= P(X_n=y | X_{n-1}=z \cap X_0=x) P(X_{n-1}=z | X_0=x)$

Si on fait l'hypothèse de récurrence $4$P(X_{n-1}=z | X_0=x) =Q^{n-1}(x,z)$
alors on conclut par définition de chaîne de Markov, on a $4$P(X_n=y | X_{n-1}=z \cap X_0=x)=P(X_1=y | X_0=z) =Q(z,y)$

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