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Changement de base d'une matrice

Posté par van_et_sa (invité) 01-06-06 à 17:40

Bonjour,


J'ai la réponse du problème mais je comprends pas le procéssus. J'aimerai bien qu'on m'explique au moins le détail d'une ligne !


Soit l'endomorphisme u:3->3 dont la matrice par rapport à la base canonique est :

(1/5)\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&4&-2*racine(2)&1\\2&-2*racine(2)&3&2*racine(2)\\3&1&-2*racine(2)&4}\)


Soit B=(b1,b2,b3) une nouvelle base avec :

b1 =  (  (2)/2 ,  0  ,  (2)/2  )
b2 =  (  (2)/2  , 0  ,  -(2)/2 )
b3 = ( 0,1,0)


Determiner la matrice de u par rapport à B .

Grand Merci de votre aide.

Posté par
raymond CorrecteurRe : Changement de base d'une matrice 01-06-06 à 18:06

Bonjour.
Par définition, la matrice P d'ordre 3, dont les trois colonnes sont constituées par b1, b2, b3 s'appelle la matrice de passage de la base canonique Bc à B.
Alors, si on appelle A la matrice de l'énoncé : A = Mat(u,Bc) et A' = Mat(u,B), on aura : A' = P-1AP. Dans la plupart des cas, si P est facile à trouver, il faut chercher P-1, ce qui n'est pas trop simple. Par contre, ici, c'est un cas particulier : la matrice P est orthogonale (B est une base orthonormale). Alors :
2$\textrm P^{-1} = ^{t}P (transposée de P).
Cordialement RR

Posté par
Ykroxorre : Changement de base d'une matrice 01-06-06 à 18:09

Moi je rebondis juste sur ce qu'à dit Raymond pour lui demander si il a vérifié que B est orthonormale ou si ca se voit à vue et si oui comment

Posté par hulk (invité)re : Changement de base d'une matrice 01-06-06 à 18:13

Je pense que ca se voit directement en effet P est la matrice de passage de la canonique (orthonormée) à (b1,b2,b3) (orthonormée car les vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux) donc P est orthogonale

Posté par
raymond Correcteurre : Changement de base d'une matrice 01-06-06 à 18:19

Ykronor.
Effectivement, j'aurais pu être plus clair.
J'ai calculé tous les produits scalaires < bi|bj> et j'ai trouvé chaque fois \delta_{i,j} (1 si i = j, 0 sinon.
La meilleure solution pour faire tous ces produits scalaires sans en oublier est en fait de calculer ^{t}PP et de trouver I3.
Cordialement RR.

Posté par van_et_sa (invité)re : Changement de base d'une matrice 01-06-06 à 18:27

Désolé d'insister mais bon mon principal problème est justement de trouver la matrice P ! Je vois pas comment faire ?! (je sais je suis pas très forte !)

Posté par
raymond Correcteurre : Changement de base d'une matrice 01-06-06 à 18:40

Je te le dis dans mon premier message : tu mets en colonne les coordonnées des trois vecteurs de la nouvelle base.
2$\textrm\begin{pmatrix}\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2&0\\0&0&1\\\sqrt{2}/2&-\sqrt{2}/2&0\end{pmatrix}.
Cordialement RR.

Posté par van_et_sa (invité)re : Changement de base d'une matrice 01-06-06 à 18:48

OKI merci beaucoup !


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