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chapitre fonction/ logarithme
Bonjour !
J'ai un devoir de mathématiques et voici un des exercices pour m'entrainer. Pouvez-vous me corriger ? Merci d'avance
Soient 𝑓 et 𝑔 les fonctions définies sur ]1; +∞[ par 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 1) + 1/x-1 et g(x) = (ln(𝑥 − 1))² + 3-2x/x-1 et Cf et Cg sont les
les courbes représentatives.
1. Dresser le tableau de variation de 𝑓 en déterminant les limites aux bornes de son ensemble de défini)on.
2. a. En déduire que 𝐶f est toujours au-dessus de la droite 𝑑 ∶ 𝑦 = 1.
b. Étudier la position relative de 𝐶f et Cg sur ]1; +∞[ .
1) On calcul les milites de f en 1+ et +
J'ai trouvé : lim f(x) = -
x tend 1+
lim f(x) = +
x tend +
Ensuite on dérive f
f'(x) = 1/x-1 - 1/(x-1)²
= (x-1)-1/ (x-1)²
= x-2 / (x-1)²
On cherche le signe de f
x-2= 0 et (x-1)²
0 ( valeur interdite)
x=2
x 1 2 +
x-2 - 0 +
(x-1)² 0 + +
f' 0 - 0 +
f décroissante croissante
( désolée pour le tableau pas fameux 
)
Pour le 2a je ne suis pas sur
et la question b il faut calculer f(x) - (x-1)
Bonjour,
Quelques parenthèses utiles ne manquent-elles pas?
f(x)=ln(x-1)+1/(x-1)?
g(x)=(ln(x-1))2+(3-x)/(x-1)?
De même, pour le calcul de la dérivée, il faut des parenthèses:
f'(x) = 1/(x-1) - 1/(x-1)²
= ((x-1)-1)/ (x-1)²
= (x-2) / (x-1)²
L'étude de signe de la dérivée est bonne.
On voit bien que ce n'est pas cohérent avec le résultat de la limite en 1+
Pour la 2a, l'allure de la courbe te donnera une indication.
Pour la 2b, c'est plutôt f-g ou g-f qui te donnera les indications nécéssaires
Bonjour,
C'est bien
et f'(x) est juste aux parenthèses près.
La limite en +1 est juste car 1/(x-1) tend vers + l'infini et l'emporte sur ln(x-1) (croissance comparée ... )
Pour 2.a, il faut compléter le tableau de variations avec la valeur f(2), ce qui permet de conclure.
Merci de votre réponse !
et pour les parenthèse
Pour ma limite en 1+ :
lim x-1 = 0+
x tend 1+
lim ln(x) = - Par croissance comparée
x tend 0+
Donc lim ln(x-1) = -
x tend 1+
Et lim 1 = 1
x tend 1+
lim (x-1) = 0+ Par quotient lim 1 / (x-1) = 0
x tend 1+ x tend 1+
Donc par somme : lim ln(x-1) + 1/ (x-1) = 0+ ?
J'ai répondu un peu en retard
Ducoup ma limite en 1+ était juste ? Ca fais donc -
Et pour f(2) j'ai trouvé 1
Non, je me suis mal exprimé. La croissance comparée s'applique à la somme, pas à ln(x-1). Mais pour l'utiliser, il faut mettre 1/(x-1) en facteur pour obtenir au numérateur (x-1)*ln(x-1)+1.
En posant X=x-1, on obtient X*ln(X)+1. Lorsque X tend vers 0, X*ln(X) tend vers 0, voir cours correspondant. Conclusion, le numérateur tend vers 1 et comme le dénominateur tend vers 0, f(x) tend bien vers + l'infini.
le numérateur tend vers 1 et comme le dénominateur tend vers 0, f(x) tend bien vers + l'infini.
Oups, je n'avais pas vu qu'il y avait des échanges entre temps. Ma réponse concernait celle de 15h58.
La tableau de variation montre que f(x) atteint son minimum en x=2 ou f(2) = 1
Pour tout x appartennant ]1;+ [ f(x) 1
Donc la courbe Cf est tjrs au dessus de la droite y=1
Non ,
Il faut soustraire les 2 fonctions ?
Oui, mais avec g(x) sous la bonne forme, soit
Alors j'ai trouvé - ln(x-1)-2
En faisant quel calcul?
f(x) - g(x) en simplifiant
Alors je crains que tu aies du mal à répondre à la dernière question car ln(x-1)2=2ln(x-1) mais on ne peut pas simplifier (ln(x-1))2
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