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Classement des nilpotents
Bonsoir!
Je suis actuellement sur un problème en deux parties dépendantes, qui m'a l'air tout sauf évident...
En voici le début (il est bien possible que, étant déjà bloqué, j'aie besoin de votre aide pour la suite également...)
I) Classification
Soit K un espace vectoriel V de dimension finie n; f un endomorphisme nilpotent de V.
e est l'échelon de f (le plus petit entier tel que fe=0).
On pose, Km=Ker(fm) (avec 0
me).
1)montrer que la suite de sous-espaces vectoriels
{0}=K0
K1...Km=V
est strictement croissante; en déduire que en.
--> d'entrée de jeu, je ne suis pas sur de bien comprendre ce que l'on me demande :
s'agit-il de démontrer les inclusions, et ainsi de prouver que les Ki ont un nombre d'élément croissant? Le but est-il plutôt de faire une sorte de récurrence où l'on incrémenterait à chaque fois seulement le dernier noyau, Km, jusqu'à n?
2)démontrer que pour tout m
0, on a f(Km+1)Km
3)Soit 1me-1 et F un sous-espace vectoriel de V tel que F
Km={0}.
Démontrer que f(F)Km-1={0} et que la restriction de f à F est injective.
Voilà pour les 3 premières questions, je continue de réfléchir la dessus, et remercie bien d'avance les courageux qui s'y frotteront!
Pour le point 1). Après je vais me coucher. Soit le vecteur nul du
-espace vectoriel
et
quelconque. Lorsque
est dans
, alors
, si bien que
. Autrement dit, pour tout
tel que
, l'on a
. D'autre part, s'il existait un
tel que
, alors l'on montrerait immédiatement que
, ce qui serait contraire à la définition même de l'échelon
. Finalement, vu que
et que
pour tout
, l'on a forcément
. D'où le résultat attendu.
A +
D'accord merci beaucoup!
La question 2 n'est pas compliquée, si je ne m'abuse il suffit de prendre un vecteur de Km+1 et de décomposer fm+1 et le tour est joué.
Je me demandais si pour la question 3, je pouvais tout simplement appliquer f à F et à Km; ainsi, comme on a montré en 2) que f(Km)Km-1, on a bien :
f(F)f(Km)=f(F)Km-1=f(FKm) or f(0)=0
donc f(F)Km={0}. Est-ce correct?
Idée pour le 2 : Soit et
. Il existe donc
tel que
, de sorte que
. Autrement dit, tout
qui est tel que
est donc tel que
, ce qui s'écrit
. D'où le résultat attendu.
Je te laisse réfléchir encore un peu sur le 3, car j'ai du travail pour la rentrée.
A +
Oui pas de problème, j'étais parvenu à résoudre le 2 comme je l'ai précisé (mon raisonnement est d'ailleurs exactement le même que le vôtre, je suis donc sur de mon résultat maintenant ^^)
Mon doute porte justement sur la question 3...Merci en tout cas
Bon en tout cas j'éspère ne pas avoir été trop vite sur la 3...
Voici l'énoncé des questions suivantes, qui à leur tour me bloquent :
4) Montrer qu'il existe une suite F1,....,Fe de s-ev de V tels que 
m tel que 1me, Fm soit un supplémentaire de Km-1 dans Km et que f(Fm)Fm-1.
-->j'ai commencé par prendre un supplémentaire arbitraire Fe de Ke-1 dans Ke=V, j'aimerai montrer que je peux également choisir un supplémentaire Fe-1 de Ke-2 dans Ke-1 qui vérifierai f(Fe)Fe-1, mais je n'y parviens pas...
5) démontrer que F1=K1 et que V=F1
F2...Fe
Merci!
Une idée : Nous supposons avoir choisi arbitrairement un sous-espace supplémentaire de
dans
. L'on se propose de construire par récurrence une suite
de sous-espaces de
tels que
et
, pour
.
Supposons donc que, pour un , nous ayons trouvé une telle suite
de sous-espaces vérifiants les conditions ci-dessus. Par suite, pour tout
dans
, il est clair que
et
. Autrement dit, tout
dans
et donc tel que
, si bien que
et donc que
. De cette dernière relation, il s'ensuit que l'image par
de tout vecteur non nul de
est non nulle, si bien que la restriction de
à
est clairement injective. Dans la même veine, il est également aisé d'en déduire que
et
. Finalement, en considérant la famille libre de
obtenue en réunissant une base de
à une base de
et en la complétant de telle sorte que l'on ait une base de
, l'on vient de construire un supplémentaire
de
dans
tel que
.
La suite ainsi construite vérifie bien les relations
et
, pour
. D'autre part, l'on a
et
. Cela montre clairement que
est le noyau de
, vu que
. Ainsi a-t-on obtenu
identités qui nous donne
A +
Bonsoir, j'étais arrivé à la même conclusion pour la 4 finalement, mais votre raisonnement est plus clair car il permet d'enchainer naturellement sur la 5.
Merci donc! (si vous avez un avis sur ma rédaction de la question 3, je suis toujours preneur)
Voici les 2 questions suivantes, les dernières de la partie 1, que je n'ai toujours pas réussi à faire (la partie 2 n'étant en fait qu'une seule question) :
6) Soit v1,e,...,vne,e une base de Fe.
Montrer qu'on peut trouver une base de Fe-1 de la forme
v1,e-1=f(v1,e),...,vne,e-1=f(vne,e),vn(e+1)...,vn(e-1)
Former de même une base v1,m,...,vnm,m de Km (pour 1m)
NB : "ne", "n(e-1)" et "nm" désignent respectivement ne, ne-1 et nm (je n'arrive pas à mettre des indices sur 2 niveaux, je me mettrai au LaTex la prochaine fois promis ^^) Convention : je mettrai un * quand il s'agira vraiment d'une multiplication.
7)La réunion des bases obtenues en 6) est alors une base de V.
On renumérote cette base ainsi :
w1=v1,1, w2=v1,2,...,we=v1,e,
we+1=v2,1,....,w2*e=v2,e,
....
we*(ne-1)+1=vne,1,...,we*ne=vne,e,
we*ne+1=vne+1,1,...,we*ne+p=vne+1,p
, avec p=min{m|nm>ne}
....
Montrer que la matrice de f dans la base (w1,...,wn) est de la forme :
diag(Ne,....Ne,Np,...,Np,Nq,...,Nq,...)
où on note Nm la matrice de Mm(K) qui n'a que des 0 sur sa diagonale et la "surdiagonale" composée uniquement de 1.
(avec ...<q<p<e)
--> Ces deux questions me laissent sur le carreau, en particulier la 7 que je ne parviens même pas à commencer correctement. Merci
Je regarderai ton texte demain matin. Je pense que le tout a un rapport avec la réduction de Jordan.
Pour l'instant, je vais me coucher.
A +
Bien vu! En effet, la réduction de Jordan est l'objet de la question II] du problème! Merci pour votre aide par avance.
Pour le 6, une idée : L'on part donc d'une base arbitrairement choisie de
pour laquelle l'on a
, vu que que
. L'on suppose donc que, étant donné
, l'on a su trouver une base
de
, avec
. Comme nous l'avons déjà vu, la restriction de
à
est injective (précédemment, j'avais pris
au lieu de
!), si bien que la famille
est nécessairement linéairement indépendante dans
et donc dans
, vu que
. Posant
pour tout
, l'on peut compléter la famille
de façon à obtenir une base
de
.
Je te laisse méditer sur le 7 : ...
A +
J'ai retrouvé l'intégralité de ton sujet dans le livre d'Algèbre de Michel Queysanne, page 510, 511, exo. 494. L'exo 495 permet d'introduire la réduction de Jordan. Ces exos ne sont pas compliqués, mais fastidieux à rédiger.
Voici la manière dont débute l'exo 495 : On appelle matrice de Jordan d'ordre , ...
Peux-tu me rédiger une partie de la Partie B ?
A +
Merci! Je n'arrivais pas à corréler efficacement cette question avec les précédentes, je comprends maintenant comment elles s'insèrent dans ce résultat...Je vais donc plancher sur le 7!
Oui on dirait en effet que vous avez trouvé exactement le même exercices à quelques expressions près :
On appelle bloc de Jordan toute matrice de la forme Jm(
)=Im+Nm (où Nm est la matrice définie dans la question 7)).
On suppose maintenant que K=
.
Montrer que pour tout endomorphisme de V il existe une base de V dans laquelle la matrice F de f est diagonale par blocs, avec des blocs diagonaux de la forme Jmi,j(i) :
F=diag(J1,1(1),...,J1,d1(1),...,Jr,1(r),...,Jr,dr(r)
(où en notant r le nombre de valeurs propres on a : 1ir et en notant ni la multiplicité de i dans le polynome caractéristique de f et di la dimension de l'espace propre Vi on a 1jDi et mi,1+...+mi,di=ni)
Pour le livre, c'est bien "Algèbre : premier cycle et préparation aux grandes écoles"?
Il me semble que mon professeur m'a parlé de ce livre; par contre je il n'y a pas de corrigés dans cet ouvrage si je ne m'abuse?
En fait, je possède deux éditions de ce même livre. Le premier est " Collection U - Algèbre - M.P. et Spéciales AA' ", chez Armand Colin. L'autre est " M. Queysanne - Algèbre - 1er cycle scientifique, préparation aux grandes écoles (Armand Colin - Collection U) ".
Effectivement, il n'y a aucun corrigé pour ces deux exos.
A +
Bon je crois voir à peu près ce qu'il faut faire pour le 7), mais la partie 2 est vraiment affreuse...
Serait-ce ?
1) Démontrer que toute matrice d'un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel de dimension finie est semblable à un tableau diagonal de matrices de Jordan relatives à . (Utiliser l'exercice précédent en remarquant que
.
2) Démontrer que toute matrice d'un endomorphisme
d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps
algébriquement clos est semblable à un tableau diagonal de matrices de Jordan relatives à
,...,
; valeurs propres de
.
Pour le 2, aurais-tu des indications ? Car dans le Queysanne, il est fait référence à un exo, le 486 qui lui aussi fait référence à un autre exo).
A +
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