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Classes à gauche modulo un SG
Posté par Alex715
Bonjour, j'aimerai trouver une démonstration satisfaisante de la proposition suivante car celle que je possède me paraît trop légère...
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G (notés multiplicativements).
x,y appartient à G
Hx=Hy<=>x.y^(-1) appartient à H
avec y(^-1) l'inverse de y et Hx la classe à droite de x modulo H.
Hx est l'ensemble de tous les éléments de la forme hx où h 
H. En particulier x appartient à Hx puisque x=1x et 1 H.
Donc si Hx=Hy, on a xHy. Donc il existe hH tel que x=hy. Donc xy-1=yH.
Réciproquement supposons que xy-1H. Ceci signifie qu'il existe hH tel que xy-1=h.
Donc x=hy. Ainsi Hx
Hy puisque si h'H, on a h'x=h'hy et hh'H.
On a aussi y=h-1x et on démontre que HyHx.
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