bonjour à tous!
voilà un exo de spé concernant la détection d'erreur d'un numéro INSEE
il ne me reste qu'une question et hélas je bloque
alors voici l'énoncé
merci d'avance à ceux qui pourront me donner des tuyaux

je vous mets l'énoncé en entier
mais c'est la question 4 a) qui me pose pb car je n'arriva pas à satisfaire l'encadrement proposé

Partie A
on note A le nbr entier constitué par les 13 chiffres de gauche du numéro INSEE qui en comporte 15
et r le reste de la division euclidienne de A par 97
Alors la clé de contrôle est K= 97 - r

on écrit a sous la forme A=10^6 * B + C

en remarquant que 10^2 congru à 3 mod 97
démontrer que l'on peut remplacer A par 27B+C


Partie B
On note A(1) un numéro INSEE de 15 chiffres clé de contrôle comprise

1. Vérifier que
A(1) = 100A + r' avec r' = 97 - r

2. on pose A(2) = A +r'
démontrer que A(2) est divisible par  97

3. on suppose que l'un des chiffres de A(1) a été modifié par erreur dans la transposition de ce numéro A(2) est alors remplacé par A(2)'

a) démontrer que A(2)' - A(2) = a * 10^n avec a compris entre 1 et 9

b) démontrer que a * 10^n n'est pas divisible par 97

c)en déduire que A(2)' n'est pas divisible par 97

4) on suppose que deux chiffres consécutifs x et y distincts de A ont été inversés par erreur
A(2) est remplacé par A(2)''

démontrer que A(2)'' - A(2) = b * 10^n avec b compris entre 9 et 81

merci d'avance