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cocyclicité
Bonjour a tous voila j'ai un problème sur mon dm de maths : le dm consiste à montrer que que A,B,C,D sont cocycliques ou alignés ssi le birapport [a,b,c,d] est réel. voila les questions
1) donner sans démonstration, une interprétation géométrique de l'argument du nombre complexe a-b/c-a. en déduire un condition simple pour que les points A,B,C,D soient alignés
2)montrer que si les points A,B,C,D sont alignés alors [a,b,c,d] appartient a R
3) on suppose, pour cette seule question, que les points A,B,C,D appartiennent a un même cercle C de centre oméga (majuscule) d'affixe w(oméga minuscule) et de rayon r>0.Montrer que [a,b,c,d] appartient a R ( on pourra introduire des arguments alpha bêta gamma , epsilon des complexes a-w, b-w, c-w, d-w )
1) no problème
2) je suis pas sur de ma réponse : en fait je part de la condition pour que deux points soient alignés puis je trouve (d-c/b-a) appartient a R
3) j'ai essayé plusieurs choses : affixe de vecteur, module égaux pour a-w,b-w,c-w et d-w mais je n'aboutit a rien de concret , j'avais pensé à utiliser le théorème de l'angle inscrit mais c'est ce que je dois en déduire de cet question 3) donc je ne peux l'utiliser
quelqu'un pourrait m'aider ?
merci d'avance
birapport : [(c - a)/(c - b)] / [(d - a) / (d -b)]
avec (c - a)/(c - b) = +/- k1 réel
avec (d - a) / (d -b) = +/- k2 réel
...
oui ne t'inquiètes pas je connais les notion sur le birapport, sa formule et tout sa c'est juste que je bloque a al question 3) et que sa me bouffe mon weekend donc voila si tu c'est comment faire ou comment partir pour arriver au résultat je suis preneur
3/
arg [(c - a)/(c - b)] = angle inscrit (ABC)
arg [(d - a) / (d -b)] = angle inscrit (ADC)
si A, B, C, et D sont cocycliques alors
(ABC) = (ADC) ou (ABC) = (ADC) + pi
donc (c - a)/(c - b) = k1 ei
donc (d - a) / (d -b) = k2 ei ou k2 ei(+pi)
fais le rapport des deux.
...
(ABC) signifie l'angle ABC c'est sa ? et je ne peux me servir du théorème de l'angle inscrit ici car c'est ce que je dois prouver a la fin de mon dm
si on ne peut utiliser pour résoudre la relation entre angles inscrits,
utilise la relation entre un angle inscrit et son angle au centre,
ce qui amène à passer par l'affixe w du centre.
...
ah oui je crois que j'ai un théorème qui porte sur l'angle au centre et les angles inscrit dans mon cours. Mai je l'avais confondus avec le théorème des angles inscrits.
merci!!!
j'ai trouvé la réponse mais sans utiliser ce que tu as écrit : j'ai écrit que a-w = re(i*alpha) b-w=ré(i*bêta)(car ils appartiennent au cercle) ........... puis a-b=re(i*alpha) - re(i*bêta) puis en factorisant par r*e(i*(alpha*bêta)/2) et en utilisant la formule d'Euler avec sinus j'arrive à un produit de sinus réel d'où le birapport réel , pensez vous que ce soit correcte ?
Nicolas
pas tout compris. voilà ce que je ferais (mais on arrive bien à un rapport de sinus ):
[(c - a)/(c - b)] / [(d - a) / (d -b)]
= (c - a) (d - b) / (c - b) (d - a)
c - a = (c - w) - (a - w) = r (ei
- ei
)
d - b = (d - w) - (b - w) = r (ei
- ei
)
(c - a) (d - b) = r² (ei - ei) (ei - ei) = ....... on développe les ei
puis on regroupe le ei en ei(+++)/2
même manip pour (c - b) (d - a)
on simplifie haut et bas par ei(+++)/2
...
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