Bonjour, j'ai un exercice dont voici l'énoncé:

  "Le code d'identification d'un article est formé de sept chiffres entre 0 et 9. Les six premiers chiffres identifient l'article, le
septième est une clé de contrôle destinée à déceler une erreur dans l'écriture des six premiers. On notera x1x2x3x4x5x6x7 un tel
code. La clé de contrôle x7 est le reste de la division euclidienne par 10 de la somme : N = (x1 + x3 + x5) + 7 (x2 + x4 + x6).

1)a) Vérifier que le code suivant est correct : 2 3 4 1 5 4 7.
  b) Calculer la clé du code suivant : 9 2 3 4 5 1.
  c) Un des chiffres du code suivant a été effacé : 1 1 2 • 7 7 4. Le calculer.
  d) Un des chiffres du code suivant a été effacé : 1 3 4 . 7 5 2 2. Le calculer.

2) Dans cette question un des chiffres du code est erroné au lieu de saisir x1x2x3x4x5x6x7, le dactylographe a frappé x1x2x3yx5x6x7.
  a) Ecrire les sommes N1 et N2 associées respectivement aux deux codes précédents puis calculer la différence N1 - N2.
  b) Montrer que l'équation 7 a ≡ 0 [modulo 10] où a est un entier compris entre 0 et 9, a pour seule solution 0.
  c) L'erreur de frappe sera-t-elle détectée ?

3) Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : au lieu de saisir x1x2x3x4x5x6x7, le dactylographe a frappé
x1x3x2x4x5x6x7.
    Donner un exemple de valeurs de x2 et x3 pour lesquelles la clé de contrôle ne détecte pas l'erreur."

J'ai répondu comme ça:

1)a) Dans la division euclidienne de N par 10 on a:
N=10q+r avec q; r=x7 , r , 0r<10
On a x1=2;x2=3;x3=4;x4=1;x5=5;x6=4;x7=7
D'où N=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)=(2+4+5)+7(3+1+4)=67
D'où la division euclidienne:
67=10*6+7 avec q=6, q ; r=x7=7, r , 07<10
Donc le code est correct.

b) Dans la division euclidienne de N par 10 on a:
N=10q+r avec q; r=x7, r , 0r<10
On a x1=9;x2=2;x3=3;x4=4;x5=5;x6=1
D'où N=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)=(9+3+5)+7(2+4+1)=66
D'où la division euclidienne:
66=10*6+r avec q=6, q; r=x7, r, 0r<10
On en déduit la clé du code:
66=10*6+x7x7=6
On a donc:
66=10*6+6 avec q=6,  q; r=x7=6, r, 06<10

c)Dans la division euclidienne de N par 10, on a:
N=10q+r avec q; r=x7, r, 0r<10
On a x1=1;x2=1;x3=x;x4=2;x5=7;x6=7;x7=4
D'où N=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)=1+x+7+7(1+2+7)=8+x+70
Ainsi on a x+84 [modulo 10]x4-8 [modulo 10]x10-4 [modulo 10]x6 [modulo 10]. Donc x=6.

d)Dans la division euclidienne de N par 10, on a:
N=10q+r avec q; r=x7, r , 0r<10
On a x1=1:x2=3;x3=4;x4=x;x5=7;x6=5;x7=2
D'où N=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)=(1+4+7)+7(3+x+5)=12+21+7x+5=33+7x+5=38+7x
Ainsi on a 38+7x27x-36...
Mais à partir de là pour cet partie je bloque. 7 ne divise pas -36, alors qu'est-ce que je dois faire?

2)a)N1=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)
    N2=(x1+x3+x5)+7(x2+y+x6)
    D'où N1-N2=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)-((x1+x3+x5)+7(x2+y+x6))=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)-(x1+x3+x5)-7(x2+y+x6)=x1+x3+x5+7x2+7x4+7x6-x1-x3-x5-7x2-7y-7x6=7x4-7y

  b)7a0[modulo10] ssi 7a est divisible par 10. Or le seul entier compris entre 0 et 9 divisible par 10 est 0. Donc a=0.

  c)La clé de contrôle ne détecte pas l'erreur quand N1-N20[modulo10]
Ainsi la clé ne détecte pas l'erreur quand 7x4-7y0[modulo10]
7x4-7y0[modulo10] équivaut à dire que x4=y
D'où si x4y alors N1-N20
Donc la clé détecte l'erreur.

3) On calcule la différence N1-N2
N1=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)
N2=(x1+x2+x5)+7(x2+x3+x6)
N1-N2=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)-((x1+x2+x5)+7(x2+x3+x6)))=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)-(x1+x2+x5)-7(x2+x3+x6)=x1+x3+x5+7x2+7x4+7x6-x1-x2-x5-7x2-7x3-7x6=x3-x2+7(x2-x3)=6(x2-x3)
La clé de contrôle ne détecte pas l'erreur quand N1-N20[modulo10].
Ainsi elle ne détecte pas l'erreur quand 6(x2-x3)0[modulo10]
Si x2-x3=5 alors 6(x2-x3)0[modulo10]
Donc si x2=7 et x3=2 la clé ne détecte pas l'erreur.

Que pensez vous de mon travail? Y a t il des erreurs? La rédaction est elle convenable? Pour ce qui est du 1)d), comment dois-je m'y prendre? Merci beaucoup!