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Niveau terminale
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Coefficient binomial

Posté par
Bastien51 12-06-16 à 22:52

Bonjour !

Je ne suis plus en terminal, mais j'aimerais comprendre pourquoi le coefficient binomial est de la forme \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

J'avoue ne pas avoir complètement cherché dans les recoins de l'internet, et les quelques explications que j'ai trouvé étaient assez compliqué pour mon niveau.

Si quelqu'un pouvait faire une petite démonstration pour un niveau de terminal, je le remercie d'avance !

Posté par
LeDinore : Coefficient binomial 12-06-16 à 23:58

Bonsoir,
Pour calculer  {n \choose k} ...

Tu dénombres d'abord toutes les listes ordonnées de  k  éléments pris parmi  1  à  n.
          1 er      nombre :    (n)   choix
          2 ème nombre :    (n-1)   choix
          ...                                   ...
          k ème nombre :    (n-k+1)   choix
          Donc au total :      n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1)    listes ordonnées

Ces listes étant ordonnées, elles contiennent toutes les permutations des combinaisons de  k  éléments.
Et ces permutations sont à chaque fois au nombre de  k!

Donc le nombre de combinaisons de  k  éléments pris parmi  n  est :

{n \choose k} = \dfrac{n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1)}{k!} = \dfrac{n!}{(n-k)! \, k!}

Posté par
TheMathHatterre : Coefficient binomial 13-06-16 à 00:00

hello,

Une demonstration je ne sais pas, une explication peut-etre. Moi je sensibilise les 3e aux coefficients binomiaux en leur faisant chercher le nombre d'anagrammes du mot "anagramme".

On commence par des mots simples comme CHAT ou ARBRE pour comprendre le principe de la fatorielle puis ensuite PAPA,  BAOBAB ou ANANAS  pour comprendre l'impact  des repetitions. Il faut les trouver a la main, c'est plus formateur je trouve.

Et a la fin on essaie avec seulement 2 lettres comme AAAABBAABB.

Posté par
carpediemre : Coefficient binomial 13-06-16 à 00:15

salut

choisir k objets parmi n c'est ne pas choisir n - k objets parmi n ....

Posté par
mdr_nonre : Coefficient binomial 13-06-16 à 02:45

bonsoir : )

Si tu veux une autre démonstration de niveau terminale :

n, p \in \N et p \leq n

1) Commence par démontrer par récurrence qu'il existe exactement \frac{n!}{(n - p)!} arrangements de p éléments d'un ensemble à n éléments.

2) Etablis ensuite qu'il existe exactement p! arrangements associés à une combinaison de p éléments d'un ensemble à n éléments de sorte que finalement \frac{n!}{(n - p)!} = p!\binom{n}{p} puis le résultat voulu.

Posté par
TheMathHatterre : Coefficient binomial 13-06-16 à 03:21

Hello,

Ca depend de ce qu'on appelle le niveau "terminale" car actuellement, sauf erreur de ma part, les arrangements ne sont plus vraiment au programme.

Le coefficient binomial est defini en 1ere comme "le nombre de chemins d el'arbre realisant k succes pour n repetitions".

Posté par
alb12re : Coefficient binomial 13-06-16 à 15:56

salut,

Bastien51 @ 12-06-2016 à 22:52


j'aimerais comprendre pourquoi le coefficient binomial est de la forme \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

s'agit-il du coefficient de a^k*b^(n-k) dans le developpement de (a+b)^n ?
s'agit-il du niveau terminale France 2016 ?

Posté par
malou Webmasterre : Coefficient binomial 13-06-16 à 18:53

TheMathHatter

Citation :
car actuellement, sauf erreur de ma part, les arrangements ne sont plus vraiment au programme.

tu ne fais pas erreur...cela n'est plus du programme français depuis plusieurs années maintenant.
Bonne soirée

Posté par
Bastien51re : Coefficient binomial 13-06-16 à 22:46

alb12 @ 13-06-2016 à 15:56


s'agit-il du coefficient de a^k*b^(n-k) dans le developpement de (a+b)^n ?

Je pensais plutôt à la notion de loi binomiale P(X=k)= \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k}
En terminale, les élèves connaissent par cœur cette formule, mais pas beaucoup (dont moi) savent vraiment "d'où sort ce coefficient binomial". On nous dit juste, "c'est le nombre de chemin permettant d'avoir le résultat souhaité"

Et merci à tous pour vos réponses ! Grâce à vos messages, je suis aller apprendre les permutations/arrangements/combinaisons. Peut-être est-ce relativement trivial pour ne pas consacrer une partie du chapitre sur ces notions ? C'est vrai qu'un élève malin pourrait les retrouver tout seul qui sait. En tout cas, je n'en fais pas parti, mais comme quoi avec de bonnes explications ça rentre tout seul

Posté par
verdurinre : Coefficient binomial 13-06-16 à 23:09

Citation :
C'est vrai qu'un élève malin pourrait les retrouver tout seul qui sait.

Bien sur.
Pour la majorité des bons élèves, ou ex-bons élèves, je crois qu'en effet, au lieu de leur apprendre, on pourrait les laisser chercher. En quelques milliers d'années la plus part réussirait.
Le problème étant que, même si l'espérance de vie augmente, on ne dispose pas d'assez de temps.

Posté par
carpediemre : Coefficient binomial 13-06-16 à 23:20

bof pas besoin de milliers d'année ...

une fois qu'un élève sait ranger n éléments d'un ensemble à n éléments et "découvre" de combien de façon il peut le faire alors il est "trivial" de ranger k éléments d'un ensemble à n éléments

et une fois qu'on sait ranger il est tout aussi aisé de déranger ....

Posté par
LeDinore : Coefficient binomial 13-06-16 à 23:32

Je pense que verdurin voulait dire que pour que la plupart des élèves (donc y compris les moins agiles) trouvent par eux mêmes... il faudrait des millénaires.

Posté par
TheMathHatterre : Coefficient binomial 13-06-16 à 23:42

Cela depend aussi de ce a quoi on les prepare. Pour le bac, il leur suffit de connaitre "betement" la formule donnee par Bastien et surtout de reconnaitre les situations de loi binomiale.

Maintenant, pour les etudes post-bac, je suis moins bien place pour savoir.

Posté par
carpediemre : Coefficient binomial 14-06-16 à 00:34

LeDino @ 13-06-2016 à 23:32

Je pense que verdurin voulait dire que pour que la plupart des élèves (donc y compris les moins agiles) trouvent par eux mêmes... il faudrait des millénaires.


si on donnait aux enfants les moyens d'accéder au savoir alors ils pourraient accéder au savoir (enfin jusqu'à un niveau de complexité dépendant de chacun) c'est ce que devrait être l'école ....

mais bon on voit ce qu'il en est ... avec cet exemple tout simple : l'algorithmique

nouvelle lubie de nos dirigeants : tout élève doit savoir coder ...

mais on voit bien (et sur ce site entre autre) ils n'y comprennent rien ...

mais comment peut-on comprendre un algorithme quand on ne sait pas lire, écrire, compter, calculer ....


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