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combinaison d'endomorphisme

Posté par Profil saljer 01-04-22 à 22:24

s il vous plait aider moi a résoudre cet exercice
soit E  un K  espace vectoriel de dim fini n
soie f un endomorphisme de E
ON suppose \exists\ x_0\in\ E\ telque \ B=(f(x_0),f^2(x_0),......,f^n(x_0))\ base \ de E
1*montrer que f est bijective

Posté par
GBZMre : combinaison d'endomorphisme 01-04-22 à 22:30

Bonsoir,

Pour montrer qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est bijectif, il suffit de montrer qu'il est surjectif (ou qu'il est injectif);

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 00:17

Merci GBZM
Pour démontrer que f est sur je tif voilà ce que j' ai fait
B est une base denc
\exists (\lambda_1,....\lambda_n)\ tel que \ : \ x=\lambda_1f(x_0)+...+\lambda_nf^n(x_0)
Donc
x=f(\lambda_1Id_E+...+\lambda_nf^n(x_0)
Donc on peut conclure que f est surjectif

Posté par
Rintarore : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 09:58

Bonjour,

x=f(\lambda_1Id_E+...+\lambda_nf^n(x_0)

qui est x ? L'expression est mal rédigée, en particulier quand tu écris l'identité sur E. Revois cette écriture.

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 10:13


x=f(\lambda_1Id_E+...+\lambda_nf^n(x_0)
x est un élément quelconque  choisi pour démontrer qu il a un antécédent

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 10:14

x est un élément quelconque de E

Posté par
bernardo314re : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 11:23

Bonjour,

Combien de vecteurs libres as-tu dans l'image de  f ?

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 12:47

Je crois n vecteurs

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 14:53

Pourquoi Bernardo314 demande le nombre de vecteurs libres

Posté par
GBZMre : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 16:22

Bon, tu as vu le truc mais tu ne l'as pas très bien écrit.
En particulier le \mathrm{Id}_E que Rintaro t'a signalé mais que tu n'a pas corrigé.
Une écriture correcte aurait été  :
Pour tout x\in E, il existe des scalaires \lambda_1,\ldots,\lambda_n tels que
x=\lambda_1 f(x_0)+\cdots+\lambda_nf^n(x_0)=f(\lambda_1x_0+\cdots+\lambda_nf^{n-1}(x_0)).
Par conséquent E=\mathrm{Im}(f).

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 02-04-22 à 22:54

Merci beaucoup les amis

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 03-04-22 à 15:44

Une deuxième question svp
Montrer que \exists\ (a_0,.....a_n) \ telque\ a_nf^n+.....a_0Id_E=0

Posté par
Rintarore : combinaison d'endomorphisme 03-04-22 à 16:08

Bonjour, sois précis s'il-te-plaît, en l'occurrence on peut prendre la famille de scalaires nulle et c'est bon.

On cherche un polynôme non nulle qui annule donc f. Peux-tu regarder la matrice de l'endomorphisme f dans une base appropriée ?  

Posté par
Rintarore : combinaison d'endomorphisme 03-04-22 à 16:09

On cherche un polynôme non nulle

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 03-04-22 à 16:39

Pour être très précis a_n=1

Posté par
Rintarore : combinaison d'endomorphisme 03-04-22 à 17:24

Ok,

Citation :
Peux-tu regarder la matrice de l'endomorphisme f dans une base appropriée ?


Ensuite, tu peux chercher un polynôme annulateur unitaire de cette matrice.

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 03-04-22 à 19:01

  Comment chercher un polynôme anulateur
Je suis en mpsi et on a pas abordé cette méthode

Posté par
GBZMre : combinaison d'endomorphisme 03-04-22 à 19:19

Bonsoir,

Tu peux commencer par montrer qu'il existe (a_0,\ldots,a_{n-1}) tel que
f^n(x_0)+a_{n-1}f^{n-1}(x_0)+\cdots+a_1f(x_0)+a_0x_0=0.
Et ensuite montrer que pour tout x\in E,
f^n(x)+a_{n-1}f^{n-1}(x)+\cdots+a_1f(x)+a_0x=0.

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 04-04-22 à 01:05

Un peu plus de détail svp

Posté par
GBZMre : combinaison d'endomorphisme 04-04-22 à 07:23

Une petite étape préalable :

Tu peux commencer par montrer qu'il existe (a_0,\ldots,a_{n-1}) tel que
f^{n+1}(x_0)+a_{n-1}f^{n}(x_0)+\cdots+a_1f^2(x_0)+a_0f(x_0)=0.

et ensuite passer à ce que j'ai écrit plus haut avec les mêmes a_0,\ldots,a_{n-1}.

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 05-04-22 à 13:37

voici la correction donné par le prof
fest bijective donc (x_0,f(x_0),,......f^n(x_0)) \: base \ de E\ donc \: \exists\ (-a_0,....,-a_n)\ tel \ que f^n(x_0)=\sum_{k=0}^{k=n-1}{-a_kf^k(x_0)}\ avec \ f^0=Id_E
donc:a_0x_0+.........a_{n-1}f^{n-1}(x_0)+f^n(x_0)=0
posons g=a_0Id_E+.........a_{n-1}f^{n-1}+f^n
Montrons que:g=0_{L(E)}
pour cela il suffit de montrer que g(f^k)(x_0)=0\ car\ (x_0,........f^{n-1}(x_0)) \ est\ une\ base \ de \ E
soit \ l\in {\left[0\,;n-1\right]} ,\; \ g=[tex]P=\sum_{k=0}^{k=n-1}{X^k}+X^n
gof^l=P(f)of^l=f^loP(f)\ donc \ g(f^l(x_0)=f^l(P(f(x_0))=0
c'est ce qu il fallait demontrer











Posté par
GBZMre : combinaison d'endomorphisme 05-04-22 à 13:40

C'était à peu près la perche que j'essayais de te tendre ...

Posté par Profil saljerre : combinaison d'endomorphisme 05-04-22 à 13:50

est ce que tu peu exposer ta méthode

Posté par
bernardo314re : combinaison d'endomorphisme 05-04-22 à 22:57

rebonjour, je réponds à ta question  "Pourquoi Bernardo314 demande le nombre de vecteurs libres" .

tu as dit  n  et c'est juste, donc ton image contient  n  vecteurs libres, et donc une base de   Rn, f est ainsi surjective, donc bijective.


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