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Combinaison linéaire de matrices
Bonjour,
Je suis en Terminale ES spécialité mathematiques et je rencontre actuellement un problème sur un exercice que je ne comprends pas vriament, je ne demande pas les réponses mais au moins quelques explications qui pourraient m'aider à poursuivre mes recherches et reussir mon exercices. Merci d'avance
Voici l'énoncé de l'exercice :
On considère la suite de terme général un= 2^n et la suite de terme général vn= (-1)^n
On pose A= ( 1 1 1 ) B= ( 3 1 1 )
1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1
et, pour tout entier n appartenant à N, Mn= unA + vnB
1/ Explicitez la matrice Mn.
2/ a/ Calculer Mo, M1, M2, M3
b/ Montrez que pour tout n appartenant à N,
{ Mn + Mn+1 = 3unA }
2Mn - Mn+1 = 3vnB
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
Pour la 1/, je pense qu'il faut détailler chacun des 9 termes de la matrice Mn.
Par exemple, le premier terme (en haut à gauche) vaut 2n+3(-1)n
Pour la 2/a, on remplace n par 0, 1, 2, puis 3.
Pour la 2/b, je te fais le premier terme en haut à gauche de Mn + Mn+1 :
2n + 3(-1)n + 2n+1 + 3(-1)n+1 = 2n(2+1) + 3(-1)n - 3(-1)n = 3.2n
On retrouve bien le terme en haut à gauche de 3unA
bonjour,
merci de votre réponse,
donc pour la 1/, il me faut faire :
2^n X 1 + (-1)^n X 3 = 2^n + 3 X (-1)^n
2^n X 1 + (-1)^n X 1 = 2^n + (-1)^n
et ainsi de suite pour les 7 termes restants?
Les résultats sont donc exprimés en fonction de n ? Et que signifie en fait expliciter la matrice Mn car je ne sais pas quoi faire avec les résultats que je trouve.
Pour la 2/a/
je voudrai juste savoir si mes démarches sont bonnes donc pour Mo = 2 ( 1 1 1 ) + (-1) X ( 3 1 1 )
1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1
= en tout à : ( -1 1 1 )
1 -1 -1
1 -1 -1
Merci d'avance
Une fois que tu as explicité Mn, tu écris Mn+1 de la même façon.
Ensuite, il faut additionner Mn et Mn+1 en explicitant chaque terme.
A la fin, on s'aperçoit (ô miracle !) que ça donne la matrice 3unA
Idem pour 2Mn-Mn+1
D'accord merci
mais est ce que je remplace A et B par quelque chose ou pas? Je ne vois pas comment faire pour être honnête..
Et juste, pour les résultats trouvés dans la consigne 1/ je les écris sous forme d'une matrice ou pas
cordialement
Oui d'habitude on écrit la matrice entièrement.
En fait, ça revient à écrire les résultats sous forme d'un tableau 3x3 au lieu de 9 lignes.
et donc toute la matrice rédigée aura des résultats en fonction de n exemple 2^n etc?
Comment dois-je faire pour trouver 3vnB à la fin avec l'expression que j'ai écrite ci-dessous?
2Mn-Mn+1 = 2 (2^n X A + (-1)^n X B) - (2^n+1 X A + (-1)^n+1 X B )
En pratique, il faudrait calculer pour les 9 termes 2.(2nAij - (-1)nBij)- (2n+1Aij + (-1)n+1Bij)
où Aij et Bij désignent les termes de la ième ligne et de la jème colonne de A et B.
En réalité, il suffit de calculer 3 termes (1;1, 1;2 et 2;2) puisqu'on a des termes identiques dans A et B.
donc 2Mn-Mn+1 = 2 ( 2^n X 1 X1 - (-1)^n X 1 X 1)
= 4^n + 2^n
= 6n
? Je comprends pas en remplaçant les termes je ne trouve pas 3vnB....
donc 2Mn-Mn+1 = 2 ( 2^n X 1 X1 - (-1)^n X 1 X 1) - ( 2^n+1 X 1 X 2 + (-1)^n+1 X 1 x 2)
= 6^n - ( 4^n+1 + (-2)^n+1)
= 6^n -6^n+1 ?
(-2)n 2Mn-Mn+1 = 2 ( 2^n X 1 X1 - (-1)^n X 1 X 1) - ( 2^n+1 X 1 X 2 + (-1)^n+1 X 1 x 2)
=( 2^n+1 + 1^n )- ( 2^n+1 X 2 + (-1)^n+1 X 2)
= 1^n - 1^n+1 x 2
Je ne comprends pas bien tes notations. Que signifient X1 et X2 ?
Essayes de faire le calcul avec les éléments (1;1) des matrices A et B (1ère ligne et 1ère colonne).
Ensuite avec les éléments (1;2), puis avec (2;2).
Les autres résultats se retrouvent grâce à ces trois-là.
x 1 c'est multiplié par 1
Ce que je ne comprends pas c'est qu'il faut faire 3 calculs pour trouver que 2Mn - Mn+1 = 3vnB ?
jarrive pas à comprendre.
est ce que Mn + Mn+1 = Mn + Mn+1= (2^n +2^(n+1))A+0
Mn + Mn+1= (2^n +2*2^n)A
Mn + Mn+1= 3*(2^n)A
Mn + Mn+1= 3*UnA
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