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Combinaisons

Posté par
Cesouxxx 10-03-11 à 20:17

Bonjour, je bloque sur une démonstration, quelqu'un peut-il m'aider ?

Soient n et p deux nombres entiers tels que 0pn.

Démontrer l'égalité suivante :

Combinaisons

Posté par
veledare : Combinaisons 10-03-11 à 20:59

bonsoir,
\bigsum_{k=0}^p\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n-k)!}{(p-k)!(n-p)!}=\frac{n!}{(n-p)!}\bigsum_{k=0}^p\frac{1}{(p-k)!k!}
on multiplie et l'on divise par p!
on obtient\frac{n!}{p!(n-p)!}\bigsum_{k=0}^p\frac{p!}{(p-k)!k!}
je te laisse terminer

Posté par
Cesouxxxre : Combinaisons 10-03-11 à 21:02

Un grand merci à toi Veleda

Posté par
veledare : Combinaisons 10-03-11 à 21:04

il y a sans doute des methodes moins calculatoires mais je ne les ai pas en tête

Posté par
Cesouxxxre : Combinaisons 10-03-11 à 21:15

Je ne sais pas comment écrire les formules que tu as écrites sur ce site, alors je vais essayer d'expliquer :

j'arrive à : (p parmi n)*(k parmi p)*(somme allant de k=0 à p)... Comment peut-on supprimer le terme "somme" ? :/ Merci de ton aide !

Posté par
veledare : Combinaisons 10-03-11 à 21:26

\bigsum_{k=0}^p(^p_k)=(1+1)^p=2^p

Posté par
Cesouxxxre : Combinaisons 10-03-11 à 21:27

Ha oui effectivement ça me simplifie tout, mais comment est-ce que tu peux prouver cette égalité ?

Posté par
veledare : Combinaisons 10-03-11 à 21:34

c'est la formule du binome de Newton,tu ne l'as pas vue en cours?
(a+b)^p=\bigsum_{k=0}^p(^p_k)a^kb^{p-k}
si a=b=1 cela donne
(1+1)^p=2^p=\bigsum_{k=0}^p(^p_k)1^k1^{p-k}=\bigsum_{k=0}^p(^p_k)

Posté par
Cesouxxxre : Combinaisons 10-03-11 à 21:39

Ha oui, oui oui merci beaucoup Veleda, j'ai tout compris !

Posté par
veledare : Combinaisons 10-03-11 à 22:31

c'est bien si tu as compris


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