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combinatoire dur

Posté par
Redman 29-09-05 à 17:52

bonjour,

Quelque soit n et p deux entiers naturels tels que
p \ge 1 et n\ge p+1

on a démontré que  pC^p_{n+1}=(n+1)C^{p-1}_n

Question :

En déduire la valeur de  
5$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} C^k_n

Merci d'avance j'ai eu ca au controle, c'était musclé...

Posté par
Redmanre : combinatoire dur 29-09-05 à 18:20

S'IL VOUS PLAIT

Posté par
Redmanre : combinatoire dur 29-09-05 à 18:28

Posté par
dadoure : combinatoire dur 29-09-05 à 18:36

Bonjour Redman,

Il faut utiliser le fait que
\sum_{p=1}^{n+1} C_{n+1}^p=2^{n+1}-1.

Tu sais que
pC_{n+1}^p=(n+1)C_n^{p-1}
d'où
\frac{1}{n+1}C_{n+1}^p=\frac{1}{p}C_n^{p-1}.
Sommons pour p allant de 1 à n+1. On obtient:
\frac{1}{n+1}\sum_{p=1}^{n+1}C_{n+1}^p=\sum_{p=1}^{n+1}\frac{1}{p}C_n^{p-1}
et par changement de variable, on obtient
\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p+1}C_n^{p}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}

Dadou


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