De façon générale, une isométrie est déjà injective, s'il s'agit d'un endomorphisme, elle est donc surjective (et même bijective).

On parle d'endomorphisme sur un espace vectoriel mais pas sur un espace affine,il me semble.

je crois qu'il y a une histoire qu'un espace affine peut etre vu comme un sous espace vectoriel ... dès que tu te fixes une origine, il y a une identification

Charly

je l'ai pas précisé parceqeu c'est un truc usuel, tu prends un point a quelconque de l'espace affine et tu obtiens une bijection x -> x-a de l'espace affine dans sa direction.

Donc tu peux raisonner avec un espace vectoriel grace à cete bijection (on appelle cela vectorialisé un espace affine).

Bonjour
J'ai cru comprendre qu'il s'agissait de faire la demonstration de la surjectivité sans utiliser les propriétés algèbriques, seulement la conservation des distances. Je ne sais pas quel est votre niveau, mais je peux retrouver une démonstration qui utilise des propriétés topologiques comme la connexité. Si c'est utilisable pour vous, je m'y mets pour demain.

Je voudrais la démonstration de la surjectivité d'une isométrie du plan mais sans utiliser la topologie car je voudrais une démonstration au niveau lycée/DEUG,si c'est possible.
Merci de ton aide Camélia

(voir également ici : http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=305827&t=305827)

Rebonjour
Ma démonstration utilise des propriétés topologiques et des théorèmes de calcul différentiel (en général je la faisais faire en licence. Je ne connais pas de demonstration niveau DEUG et je ne suis pas convaincue de l'utilité de tels raffinements à ce niveau.
A bientôt

Tu sais démontrer qu'elle est affine et injective, tu conclus en disant que les dimensions de l'espace affine de départ et celui d'arrivée sont les mêmes.

Je suis d'accord avec Stokastik: en dimension finie, linéaire et injective impliquent surjective.

Cimomo avait-il raison dans son post du 15/7 à 10h 18 lorsqu'il disait:

"De façon générale, une isométrie est déjà injective, s'il s'agit d'un endomorphisme, elle est donc surjective (et même bijective)."

En dimension infinie, ça ne m'étonnerait pas qu'il y ait des contre-exemples.

Quelqu'un a une idée?

Bonjour à tous

jeanseb> Comme contre-exemple, on peut prendre l'espace vectoriel E des suites complexes telles que la série est convergente.
On munit cette ensemble de la norme définie par .
L'application (avec et pour tout n entier naturel, ) est une isométrie non surjective.

Kaiser

Merci Kaiser

Mais je t'en prie !

Merci à tous pour vos réponses. Je pense avoir trouver une solution.