C'est bien sûr un triangle rectangle puisque 30²+40²=50²

Donc on connaît déjà deux hauteurs qui sont confondues avec les deux côtés
qui ne sont pas l'hypoténuse. Donc h1= 30m, h2=40m

Pour la 3ème, celle qui coupe l'hypoténuse à angle droit , je propose
de procéder comme suit:

D'abord, sur le triangle initial, on détermine chacun des angles ce qui est
aisément faisable. En effet,  si AB=50m, BC=40m et AC=30m alors

cos (angle en B)= 40/50 = 0,8 d'où:
angle en B =36,8° et donc angle en A = 53,2°

Si on descend la hauteur h3 depuis C vers l'hypotenuse (on nomme
H le point d'intersection de la hauteur avec l'hypotenuse)
alors le triangle CHB est tel que l'angle en C de ce triangle
est aussi égal à 53,2° (puisque les autres sont égaux respectivement
à 90° et à 36,8°).

Il ne reste maintenant qu'à dire que cos (angle HCB) = CH/CB

ssi cos(53,2°)= CH/40 ssi CH=40.cos 53,2° = 24m

Donc la plus petite hauteur h3 est égale à 24m


NB: En fait, on n'a pas besoin de déterminer la valeur des angles.
Il suffit simplement d'établir que l'angle HCB est égal
à l'angle CAB et donc que leur cosinus est identique et égal
à 0,6. Comme ça, on ne fournit pas des valeurs d'angles qui
ne sont de toutes façons que des valeurs approchées.

as tu une explication plu simple puisque je ne comprends pas c'est
koi cos?

Après avoir montré que le triangle était rectangle.
Avec AB = 30 , AC = 40 et BC = 50 (hypothénuse)
AB et AC sont des hauteurs.

On a: Aire(ABC) = (1/2). (AB).AC) = (1/2).30*40 = 600 m².  (1)

Soit AH la hauteur issue de A.
On a aussi:  Aire(ABC) = (1/2).BC.AH
Aire(ABC) = (1/2).50.AH
Aire(ABC) = 25.AH   (2)

(1) et (2) ->
25.AH = 600
AH = 24.

La plus petite hauteur est donc 24 m.
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Sauf distraction.

merci j-p.