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Commutateur de Sn et An
Bonjour tout le monde.
Dans le cadre d'un exercice je cherche à déterminer l'ensemble où
est le groupe des permutation de {1,...n} ,
le groupe alterné et
est le sous-groupe de
engendré par l'ensemble
.
Je n'ai pas vraiment d'intuition sur la question, le seul résultat que j'ai obtenu est que et je n'arrive pas prouver l'égalité ( ou non ?) de ces deux sous-groupes.
Je me demandais donc si quelqu'un aurait une piste (ou un début de piste).
Merci beaucoup d'avance,
ha ben si puisque A_n est distingué dans S_n ...
donc considère pour y dans A_n l'application lorsque x parcourt A_n ...
Bonjour, merci de votre réponse.
Ne s'agirait-il pas de considérer la fonction pour y dans
et x parcourant
(plutôt que
)?
Si tel est le cas il est clair que cette fonction est à valeur dans mais il faudrait montrer la surjectivité ce qui ne me semble pas évident malhereusement ( ou alors je n'ai pas compris où vous vouliez en venir ?).
Hello !
Plaçons nous pour n>=5
Le groupe dérivé de An (groupe engendré par [x,y] avec x,y dans An) est un sous groupe distingué de An. Comme An est simple pour n>=5, ce groupe est An
De plus ce groupe dérivé est inclus dans [Sn,An] qui lui même est inclus dans An...
Pour n < 5 il va falloir procéder autrement !
Merci de votre réponse Lionel.
La notion de groupe simple n'étant pas abordée dans mon cours, je doute que cette réponse puisse satisfaire mon prof...
J'ai essayé de réfléchir au message de carpediem pour montrer l'inclusion inverse mais je n'arrive pas à aboutir au résultat..
J'ai essayé de montrer que les 3-cycles étaient dans l'image de S_n par la fonction proposée par carpediem sans succès
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