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compacité et connexité par arcs des espaces projectifs
Posté par romu
Bonsoir,
il y a une démonstration que j'ai du mal à comprendre dans mon cours:
Citation :
Théorème: Les espaces projectifs réels ou complexes sont compacts et connexes par arcs.
démonstration: Considérons le cas réel. Chaque droite de)
a deux vecteurs directeurs unitaires qui ont leur extrémité sur la sphère 
de centre 
et de rayon 
.
On voit donc qu'en fait est l'image de , qui est compacte (car fermée et bornée).
Il suffit pour conclure de voir que l'espace projectif est séparé.
Soient
et 
deux droites distinctes de 
qui coupent en 
et 
, 
et 
respectivement.
On peut trouver deux petits ouverts
et 
de contenant et respectivement tels que les quatre ouverts ,, 
, 
soient disjoints,
en notant le symétrique de par rapport à .
Théorème: Les espaces projectifs réels ou complexes sont compacts et connexes par arcs.
démonstration: Considérons le cas réel. Chaque droite de
On voit donc qu'en fait
Il suffit pour conclure de voir que l'espace projectif
Soient
On peut trouver deux petits ouverts
en notant
Déjà pour ce passage:
Citation :
On voit donc qu'en fait est l'image de , qui est compacte (car fermée et bornée).
On voit donc qu'en fait
Déjà par "image de
Merci pour votre aide.
Bon finalement, je crois que j'ai compris ce passage.
Il s'agit de l'image par la projection canonique qui est continue par définition de la topologie quotient,
et dans on peut trouver exactement deux représentants de chaque classe.
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