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Comparaison de deux entiers en fonction de n
Bonjour,
Je rencontre un problème au niveau d'une question ouverte, la voici:
Comparer les entiers n^(n+1) et (n+1)^n où n est un entier naturel.
J'ai utilisé le log népérien, ce qui m'a donné n^(n+1)=n ln(n²) et pour (n+1)^n = n ln(n+1)
Je voulais résoudre le système n²=n+1 mais je ne trouve pas un résultat satisfaisant. Quelqu'un aurait-il une autre idée pour cette question ouverte ?
Merci!
Bonjour,
Attention : ln[n^(n+1)] donne (n+1).ln(n) ...
A = x^(x+1)
B = (x+1)^x
ln(A) = (x+1).ln(x)
ln(B) = x.ln(x+1)
f(x) = ln(A) - ln(B) = (x+1).ln(x) - x.ln(x+1)
f '(x) = ln(x) + (x+1)/x - ln(x+1) - x/(x+1)
f '(x) = ln(x/(x+1)) + (2x+1)/(x(x+1))
f ''(x) = ((x+1)/x).(1/(x+1)²) + [2x(x+1)-(2x+1)²]/(x².(x+1)²)
f ''(x) = -(x²+x+1)/[x²(x+1)²]
f ''(x) < 0 pour x >= 1 et donc f '(x) est décroissante.
lim(x->oo) f '(x) = ln(1) + 0 = 0
-> f '(x) > 0 pour x >= 1 et f(x) est croissante.
f(2) = 3.ln(2) - 2.ln(3) = -0,1... < 0
f(3) = 4*ln(3) - 3.ln(4) = 0,2... > 0
Il y a donc une et une seule valeur de x pour laquelle f(x) = 0 et cette valeur de x est dans ]2 ; 3[
On a donc :
f(x) < 0 pour x dans [1 ; 2]
f(x) > 0 pour x dans [3 ; oo[
ln(A) - ln(B) < 0 pour x dans [1 ; 2]
ln(A) - ln(B) > 0 pour x dans [3 ; oo[
Et comme la fonction logarittme est partout croissante, on a:
A - B < 0 pour x dans [1 ; 2]
A - B > 0 pour x dans [3 ; oo[
x^(x+1) < (x+1)^x pour x dans [1 ; 2]
x^(x+1) > (x+1)^x pour x dans [3 ; oo[
n^(n+1) < (n+1)^n pour n dans [1 ; 2]
n^(n+1) > (n+1)^n pour n dans [3 ; oo[
on a aussi n^(n+1) < (n+1)^n pour n = 0
et donc finalement:
n^(n+1) < (n+1)^n pour n dans [0 ; 2]
n^(n+1) > (n+1)^n pour n dans [3 ; oo[
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Sauf distraction. 
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