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Comparer des tracés obtenus par la méthode d'Euler avec des pas
Bonjour, j'aurais besoin d'aide, je suis bloqué sur cette exercice. Voici l'énoncé:
Pour un entier naturel non nul "n", on pose h=1/n et bon découpe l'intervalle [0;1] à l'aide des nombres x0=0; x1=h; x2=2h; ... ; xn=nh=1.
a) En considérant une approximation affine associée à la fonction exponentielle, démontrer que pour tout entier "k" tel que 0 《k《n, une valeur approchée de exp (xk) est (1+h)^k.
b) A l'aide du tableur ou de la calculatrice, construire pour n=5; n=10 et n=20, un tableau des valeurs de (1+n)^k pour 0《k《n.
c) Sur une feuille de papier millimétré, dans un répère orthogonale, tracer les représentations graphiques approchées de la fonction exponentielle sur l'intervalle [0;1] obtenues pour les valeurs de "n" de la question b).
Merci d'avance pour votre aide! 😊
Bonjour,
question a) :
En considérant une approximation affine associée à la fonction exponentielle...
Comprenez-vous ce dont il s'agit ?
Bonjour,
Votre exercice est un peu inhabituel dans les programmes de classe terminale de France,
Etes-vous ailleurs ?
"L'approximation affine d'une fonction" se fait en un point en remplaçant la courbe par la tangente au voisinage de ce point. Cela suppose que la fonction est dérivable et que l'on connaisse cette dérivée.
Cherchez "approximation affine d'une fonction" sur internet...
Pour votre exercice on suppose connu que la dérivée de ex vaut ex en tout point.
en x0 on a e0=1 donc en x1 l'approximation est A1=1+h
en x1 on a A1=1+h donc en x2 on augmente A1 de hA1 d'où A2=(1+h)2
Si vous assimilez cela vous continuez par récurrence....
Bonjour, non je suis en terminale en France.
D'accord je vais essayer merci beaucoup pour vos précieux conseil!
Bonsoir,
récurrence : on suppose que pour xk on a l'approximation Ak=(1+h)k
c'est vrai pour x1
la dérivée en xk est égale à Ak=(1+h)k d'après l'hypothèse sur la dérivée de ex
pour x(k+1) on augmente x de h et Ak de hAk
on a donc bien A(k+1) =Ak(1+h)=(1+h)k+1
Bonjour, Merci beaucoup pour ton aide mais je n'ai pas tout compris malheureusement....
Pourriez vous, si possible, plus approfôire votre explication?
Merci d'avance
Bonjour,
il faut relire votre cours sur l'approximation affine ou rechercher
approximation affine - Wikipedia sur internet
Au point xk c'est f(x) = f(xk) + f'(xk)(x-xk)
dans la récurrence, f(xk) c'est (1+h)k
f'(xk) c'est f(xk) car vous approximez ex dont la dérivée vaut ex
vous cherchez f(x) au point xk+1 c'est-à-dire f(xk+1) avec xk+1-xk=h
Voilà, vous avez tout pour bien réfléchir...(vous êtes en terminale !)
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