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Comparer e^x et ln(x)

Posté par
marik
30-01-11 à 15:53

Bonjour, j'ai un exercice a faire que je ne comprend pas
Pouvez m'aider s'il vous plait.
Voici la consigne :

F est la fonction définie sur ]0;+00[ par : f(x)=e^x - ln(x)

1)a) Etudier les variations de la fonction W définie sur R par W(x)=xe^x - 1

On calcul la dérivée de xe^x :

1*e^x+x*e^x=e^x+x*e^x

On calcul la dérivé de W :

W'(x)=e^x+x*e^x*0-(xe^x)*(-1)
=e^x+(xe^x)


b)En déduire qu'il existe un réel unique alpha :A tel que Ae^A=1.

Je ne sais pas.
c)préciser le signe de W(x) suivant les valeurs de x.

2)a) Etudier les limites de f en  et en +00 :

En 0 :
lim e^x=1
lim ln(x)=-00
donc lim f(x)=+00

En +00 :
lim e^x=+00
lim ln(x)=+00

je ne sais pas calculer cette limite.

b) Etudier les variations de f.Dresser le tableau :
On calcul la dérivée f'

f'(x)=[e^x*(1/x)-e^x*ln(x)]/ln(x)

=[e^x/x-e^x*ln(x)]/ln(x)

c)Montrer que f admet un minimum m égal a A+A^-1
Justifier que 2,32 Inferieur ou égal a m inférieur ou égale a 2,34.

3)Donner une équation de la tangeante T au point d'abs. 1 .Determiner le point d'intersection de T et de l'axe des ordonnées.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Comparer e^x et ln(x) 30-01-11 à 16:01

Bonjour

1) La dérivée est correcte. Donc W'(x)=(x+1)e^x, évidemment strictement positive sur ton intervalle.

Comme W(0)=-1 < 0 et comme W(x) tend vers +\infty quand x tend vers +\infty, tu prouves l'existence de A en utilisant le théorème de la bijection.

Après le signe de W(x) est clair.

2) Pour la limite de f en +\infty mets ln(x) en facteur et utilise les croissances comparées.

La dérivée de f est bizarre...et fausse!

Posté par
Leonegres
re : Comparer e^x et ln(x) 30-01-11 à 16:01

Bonjour,

Ne le prend pas mal mais c'est un petit peu brouillon ce que tu nous présentes là.

Pourrait-on revoir cela point par point, là où tu bloques ?

Merci

Léo

Posté par
Leonegres
re : Comparer e^x et ln(x) 30-01-11 à 16:02

Bonjour Camelia.

Posté par
marik
re : Comparer e^x et ln(x) 30-01-11 à 16:18

Bonjour Léo et Camélia

je vais reprendre point par point

Pour le 2)a) :
2)a) Etudier les limites de f en  et en +00 :

En 0 :
lim e^x=1
lim ln(x)=-00
donc lim f(x)=+00

En +00 :
lim e^x=+00
lim ln(x)=+00

je ne sais pas calculer cette limite.C'est la ou je bloque. je ne comprend pas comment mettre ln(x) en facteur

b) Etudier les variations de f.Dresser le tableau :
On calcul la dérivée f'

f'(x)=[e^x*(1/x)-e^x*ln(x)]/ln(x)

=[e^x/x-e^x*ln(x)]/ln(x)

Je ne comprend pas pourquoi cette dérivée est fausse?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Comparer e^x et ln(x) 30-01-11 à 17:11

Salut Leonegres

Si f(x)=e^x-\ln(x), la dérivée est la différence des deux dérivées donc

f'(x)=e^x-\frac{1}{x}

Pour la limite

e^x-\ln(x)=\ln(x)\(\frac{e^x}{\ln(x)-1\)

Posté par
Camélia Correcteur
re : Comparer e^x et ln(x) 30-01-11 à 17:12

ERREUR: e^x-\ln(x)=\ln(x)\(\frac{e^x}{\ln(x)}-1\)

Posté par
marik
re : Comparer e^x et ln(x) 31-01-11 à 12:26

Ok

Lim Ln(x) en +00=+00
et lim e^x/ln(x)-1=+00 ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Comparer e^x et ln(x) 31-01-11 à 14:28

Oui.

Posté par
marik
re : Comparer e^x et ln(x) 31-01-11 à 18:40

Merci Camélia et Léo



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